Interested Article - Ортодиагональный четырёхугольник

Ортодиагональный четырёхугольник. Согласно описанию этих четырёхугольников, два красных квадрата на двух противоположных сторонах четырёхугольника дают в сумме ту же площадь, что и два синих квадрата на другой паре сторон.

В евклидовой геометрии ортодиагональный четырёхугольник — это четырёхугольник , в котором диагонали пересекаются под прямым углом .

Специальные случаи

Дельтоид является ортодиагональным четырёхугольником, в котором одна диагональ является осью симметрии. Дельтоиды — это в точности ортодиагональные четырёхугольники, имеющие окружность , касающуюся всех четырёх сторон. Таким образом, дельтоиды являются описанными ортодиагональными четырёхугольниками .

Ромб — это ортодиагональный четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон (т.е. ортодиагональный четырёхугольник и параллелограмм одновременно).

Квадрат — это частный случай ортодиагонального четырёхугольника, который является одновременно и дельтоидом, и ромбом.

Ортодиагональные равнодиагональные четырёхугольники, в которых диагонали не меньше любой стороны, имеют максимальный диаметр среди всех четырёхугольников, что решает случай n = 4 задачи наибольшего по площади многоугольника единичного диаметра . Квадрат является одним из таких четырёхугольников, но есть бесконечно много других.

Описание

Ортодиагональный четырёхугольник. Параллелограмм Вариньона выделен красным (M ₁₂ M ₂₃ M ₃₄ M ₄₁ , где M _xy является серединой отрезка [B _x , B _y ]).
Антимедиатрисы выделены синим (основанием антимедиатрисы, опущенной из M _xy является точка A _xy ).
Середины сторон и основания антимедиатрис лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Для любого ортодиагонального четырёхугольника суммы квадратов противоположных сторон равны — для сторон a , b , c и d мы имеем :

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Это следует из теоремы Пифагора , по которой любая из этих двух сумм равна сумме четырёх квадратов расстояний от вершин четырёхугольника до точки пересечения диагоналей.

Обратно — любой четырёхугольник, в котором a ² + c ² = b ² + d ² , должен быть ортодиагональным . Это можно показать разными путями, используя теорему косинусов , вектора , доказательство от противного и комплексные числа .

Диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда бимедианы имеют одинаковую длину .

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны также тогда и только тогда, когда

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

,

где P — точка пересечения диагоналей. Из этого равенства следует почти немедленно, что диагонали выпуклого четырёхугольника перпендикулярны также тогда и только тогда, когда проекции пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника являются вершинами вписанного четырёхугольника .

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника (перпендикуляры из точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника) выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Прямоугольник, образованный точками пересечения нормалей с противоположными сторонами, выделен красным цветом (вершины прямоугольника — R, S, T, U.
Основания нормалей и пересечения нормалей с противолежащими сторонами лежат на одной окружности. На рисунке точка O — центр этой окружности.

Выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда его параллелограмм Вариньона (вершинами которого служат середины сторон) является прямоугольником . Также выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда середины его сторон и основания четырёх антимедиатрис являются восемью , окружности восьми точек . Центр этой окружности является центроидом четырёхугольника. Четырёхугольник, образованный основаниями антимедиатрис, называется главным орточетырёхугольником .

Если нормали к сторонам выпуклого четырёхугольника ABCD через пересечение диагоналей пересекают противоположные стороны в точках R , S , T , U , а K , L , M , N — основания нормалей, то четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда восемь точек K , L , M , N , R , S , T и U лежат на одной окружности, второй окружности восьми точек . Кроме того, выпуклый четырёхугольник ортодиагонален тогда и только тогда, когда четырёхугольник RSTU является прямоугольником, стороны которого параллельны диагоналям четырёхугольника ABCD .

Ортодиагональный четырёхугольник. Нормали к сторонам треугольника выделены синим цветом, точки K, L, M, N — основания нормалей.
Медианы выделены красным. Основания медиан являются центрами описанных окружностей.

Есть несколько соотношений относительно четырёх треугольников , образованных точкой пересечения диагоналей P и вершинами выпуклого четырёхугольника ABCD . Обозначим через m ₁ , m ₂ , m ₃ , m ₄ медианы в треугольниках ABP , BCP , CDP , DAP из P на стороны AB , BC , CD , DA соответственно. Обозначим через R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ радиусы описанных окружностей , а через h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ — высоты этих треугольников. Тогда четырёхугольник ABCD ортодиагонален тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих равенств :

$m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2}$
$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Более того, четырёхугольник ABCD с точкой пересечения диагоналей P ортодиагонален тогда и только тогда, когда центры описанных вокруг треугольников ABP , BCP , CDP и DAP окружностей являются серединами сторон четырёхугольника .

Сравнение с описанным четырёхугольником

Некоторые числовые характеристики описанных четырёхугольников и ортодиагональных четырёхугольников очень похожи, что видно в следующей таблице . Здесь длины сторон четырёхугольника равны a , b , c , d , радиусы описанных окружностей вокруг треугольников равны R ₁ , R ₂ , R ₃ , R ₄ , а высоты равны h ₁ , h ₂ , h ₃ , h ₄ (как на рисунке).

Описанный четырёхугольник	Ортодиагональный четырёхугольник
$a+c=b+d$	$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$
$R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}$	$R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Площадь

Площадь K ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения длин диагоналей p и q :

K={\frac {p\cdot q}{2}}.

Обратно — любой выпуклый четырёхугольник, площадь которого равна половине произведения диагоналей, ортодиагонален . Ортодиагональный четырёхугольник имеет наибольшую площадь среди всех выпуклых четырёхугольников с данными диагоналями.

Другие свойства

Только для ортодиагональных четырёхугольников площадь не определяется однозначно сторонами и углом между диагоналями . Например, если из двух ромбов со сторонами a (как у всех ромбов, у них диагонали перпендикулярны) один имеет меньший острый угол, то площади будут различными.
Если на сторонах любого четырёхугольника (выпуклого, вогнутого или самопересекающегося) нарисовать квадраты , то их центры будут вершинами ортодиагонального четырёхугольника (к тому же и равнодиагонального ). Это утверждение носит название теоремы Ван-Обеля .

Свойства ортодиагонального вписанного четырёхугольника

Радиус описанной окружности и площадь

Пусть во вписанном в окружность ортодиагональном четырёхугольнике точка пересечения диагоналей делит одну из диагоналей на отрезки длиной p ₁ и p ₂ , а другую — на отрезки длиной q ₁ и q ₂ . Тогда (первое равенство в Утверждении 11 в книге Архимеда « Леммы »)

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}

,

где D — диаметр описанной окружности . Это выполняется для любых двух перпендикулярных хорд окружности . Из этой формулы вытекает выражение для радиуса описанной окружности

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}

или, в терминах сторон четырёхугольника,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.

Отсюда также следует, что

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Тогда, согласно формуле Эйлера , радиус описанной окружности может быть выражен в терминах диагоналей p и q и расстоянию x между серединами диагоналей

R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника в терминах четырёх сторон получается непосредственно, если скомбинировать теорему Птолемея и формулу .

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Другие свойства

Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей .
Теорема Брахмагупты утверждает, что для любого вписанного ортодиагонального четырёхугольника перпендикуляр к стороне, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит пополам противоположную сторону .
Если ортодиагональный четырёхугольник является вписанным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны .
Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей .
Ортодиагональный четырёхугольник, являющийся также равнодиагональным , является среднеквадратным четырёхугольником , поскольку его параллелограмм Вариньона является квадратом. Его площадь может быть выражена чисто в терминах сторон.

Прямоугольники вписанные в ортодиагональный четырехугольник

В любой ортодиагональный четырехугольник можно вписать бесконечно много прямоугольников, относящихся к следующим двум множествам:

(i) прямоугольники, чьи стороны параллельны диагоналям ортодиагонального четырехугольника

(ii) прямоугольники, определяемые окружностями точек Паскаля.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник, $P_{1}X_{1}Z_{1}Y_{1}$ и $P_{2}X_{2}Z_{2}Y_{2}$ прямоугольники, вписанные в $ABCD$ , и стороны которых параллельны диагоналям четырехугольник.

$ABCD$ - ортодиагональный четырехугольник. $P_{1}$ и $Q_{1}$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности $\omega _{1}$ , $\sigma _{P_{1}Q_{1}}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_{1}V_{1}Q_{1}W_{1}$ вписанного в $ABCD$ . $P_{2}$ и $Q_{2}$ точки Паскаля, формируемые с помощью окружности $\omega _{2}$ , $\sigma _{P_{2}Q_{2}}$ – окружность точек Паскаля, определяющая остальные вершины прямоугольника $P_{2}V_{2}Q_{2}W_{2}$ вписанного в $ABCD$ .

Примечания

, p. 119—130.
↑ , p. 136—138.
, p. 306—309.
, p. 195–211.
↑ , p. 13–25.
, p. 109–119.
, p. 310–311.
, p. 306–309.
, p. 104–105, #4–23.
David, Fraivert (2019), , , 23 : 5—27 от 23 октября 2020 на Wayback Machine .
David, Fraivert (2017), (PDF) , , 17 : 509—526 от 5 декабря 2020 на Wayback Machine .
Фрейверт, Д. М. (2019), , Математическое образование: современное состояние и перспективы : материалы Международной научной конференции от 10 ноября 2019 на Wayback Machine

Литература

Martin Josefsson. Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010. — Vol. 10. — P. 119–130.
Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Vol. 12. — P. 13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011. — Vol. 11. — P. 109–119.
N. Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007. (Переиздание книги 1952 года, Barnes & Noble)

Douglas W. Mitchell. // Mathematical Gazette. — 2009. — Vol. 93. — P. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Class preserving dissections of convex quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2009. — Vol. 9. — P. 195–211.
J. Harries. Area of a quadrilateral // Mathematical Gazette. — 2002. — No. 86.
David Fraivert. // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 509–526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. . — New York: Dover Publ., 1996. — ISBN 0-486-69154-3 .