Проективная прямая — одномерное проективное пространство . Проективная прямая представляет собой множество прямых (одномерных подпространств) в 2-мерном линейном пространстве. Точки проективной прямой могут быть заданы с помощью однородных координат ${\displaystyle [x_{1}:x_{2}]}$ . Как топологическое пространство, проективная прямая представляет собой одноточечную компактификацию .

Примеры

Вещественная проективная прямая с пучком гладких функций является гладким многообразием . Это многообразие диффеоморфно окружности ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\cong S^{1}}$ . Комплексная проективная прямая ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ — сфера Римана , — как вещественное многообразие, диффеоморфна двумерной сфере ${\displaystyle S^{2}}$ . Для тела кватернионов проективная прямая, как вещественное многообразие, ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}}$ .

Действие групп на проективной прямой

Для групп ${\displaystyle GL_{2}(k),SL_{2}(k)}$ и др. может быть определено действие на проективной прямой. Факторизуя по группе скалярных матриц, получаем группы ${\displaystyle PGL_{2}(k),PSL_{2}(k)}$ , для которых это действие является точным. Для конечного поля ${\displaystyle PSL_{2}(k)}$ изоморфна некоторой подгруппе конечной симметрической группы .

В алгебраической геометрии

Проективная прямая является важным примером проективного многообразия . Полем функций проективной прямой ${\displaystyle P^{1}(K)}$ является поле ${\displaystyle K(X)}$ рациональных функций. Группой автоморфизмов поля ${\displaystyle K(X)}$ является группа ${\displaystyle PGL_{2}(K)}$ . Если невырожденная квадратичная кривая содержит хотя бы одну точку, то она бирационально изоморфна проективной прямой.

Примечания

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия — М. : Наука 1986.
• Математическая энциклопедия, 1984, том 4, стр.671, статья Проективная прямая.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия — М. : Мир, 1981.