Interested Article - Гармоническая четвёрка

A , B , C , D — гармоническая четвёрка точек.

Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой , двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут .

Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости , проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .

Свойства

  • Если гармоническая четвёрка прямых пересечена прямой, то на этой прямой образуется гармоническая четвёрка точек.
  • На каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек. [ уточнить ]
  • На каждой диагонали полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек. [ уточнить ]
  • Гармоническая четвёрка точек на комплексной плоскости лежит на одной прямой или окружности, и пары касательных в противоположных точках конкурентны диагонали.

Построение

  • Для любых трёх точек, лежащих на одной прямой, пользуясь гармоническими свойствами полного четырёхвершинника, можно построить четвёртую точку так, что получится гармоническая четвёрка точек.
  • На рисунке выше точки пересечения двух пар противоположных сторон ML и KN , MK и LN полного четырёхугольника MLNK (соответственно первые две точки A и B прямой), а также точки D и C пересечения соответственно диагоналей LK и MN с этой прямой (прямая AC ), проходящей через эти точки, образуют гармоническую четвёрку точек A, B, C, D .
  • Построения последнего пункта (см. также рисунок) полностью дублирует следующая теорема : Для точки K прямая Чевы (например LD ) треугольника ALB и прямая MN , соединяющая основания M и N двух других прямых Чевы AN и BM , делят противоположную сторону AB гармонически .

Пример гармонической четвёрки точек

  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника пересекают противоположную этой вершине сторону и соответственно её продолжение в двух точках, которые вместе с двумя концами этой стороны образуют гармоническую четвёрку точек .
  • Точка, гармонически сопряженная середине стороны треугольника, находится на продолжении этой стороны на бесконечности .

Гармоническая четвёрка на расширенной евклидовой плоскости

  • Если точка , то четвёрка гармоническая, если — середина отрезка .
  • Если — полный четырёхвершинник и его диагональные точки — несобственные, то на расширенной евклидовой плоскости — параллелограмм, а из его гармонических свойств следует, что точка пересечения его диагоналей делит их пополам.
  • Если — полный четырёхвершинник, у которого одна диагональная точка — несобственная, , то на расширенной евклидовой плоскости — трапеция, а из его гармонических свойств следует, что делит пополам.

Примечания

  1. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 31.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Теорема на с. 46, § 30.
  3. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. Задача на с. 46, § 30.

Литература

  • Базылев, Дуничев, Иваницкая. Геометрия, часть 2. — М. : Просвещение, 1975.
  • Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 6-е изд.. — М. , 1978.
  • Певзнер С.Л. Проективная геометрия. — М. : Просвещение, 1980.
  • Постников М. М. Аналитическая геометрия. — 1973.
  • Х. С. М. Кокстер. Действительная проективная плоскость / под ред. проф. А. А. Глаголева. — М. , 1959.
Источник —

Same as Гармоническая четвёрка