Теорема Лестера — утверждение в геометрии треугольника , согласно которому в любом разностороннем треугольнике две точки Ферма , центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности ( окружности Лестера ). Названа именем канадского математика Джун Лестер ( June Lester ).

Доказательства

Доказательство Гиберта с помощью гиперболы Киперта

Теорема об окружности Лестера вытекает из более общего утверждения Б. Гиберта (2000), а именно, что любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера , проходит через точки Ферма .

Лемма Дао на прямоугольной гиперболе

В 2014 году Дао Танх Оай (Đào Thanh Oai) показал, что результат Гиберта следует из свойств прямоугольных гипербол . А именно, пусть точки ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle G}$ лежат на одной ветви прямоугольной гиперболы ${\displaystyle S}$ , а ${\displaystyle F_{+}}$ и ${\displaystyle F_{-}}$ — две точки на ${\displaystyle S}$ , симметричные относительно её центра (точки-антиподы), в которых касательные прямые к ${\displaystyle S}$ параллельны прямой ${\displaystyle HG}$ .

Пусть ${\displaystyle K_{+}}$ и ${\displaystyle K_{-}}$ — две точки на гиперболе, касательные прямые в которых пересекаются в точке ${\displaystyle E}$ на прямой ${\displaystyle HG}$ . Если прямая ${\displaystyle K_{+}K_{-}}$ пересекает ${\displaystyle HG}$ в точке ${\displaystyle D}$ , и перпендикуляр в середине отрезка ${\displaystyle DE}$ пересекает гиперболу в точках ${\displaystyle G_{+}}$ и ${\displaystyle G_{-}}$ , то шесть точек ${\displaystyle F_{+},F_{-},E,D,G_{+},G_{-}}$ лежат на одной окружности .

Чтобы получить теорему Лестера из этого результата, необходимо взять в качестве ${\displaystyle S}$ гиперболу Киперта треугольника, в качестве точек ${\displaystyle F_{+},F_{-}}$ — точки Ферма, точками ${\displaystyle K_{+},K_{-}}$ будут внутренняя и внешняя точки Вектена , точками ${\displaystyle H,G}$ будут ортоцентр и центроид треугольника .

См. также

• Точка Парри
• Точки Торричелли

Примечания

Литература

• Clark Kimberling. Lester Circle // Mathematics Teacher. — 1996. — Т. 89 , вып. 26 .
• June A. Lester. Triangles III: Complex triangle functions // Aequationes Mathematicae. — 1997. — Т. 53 . — С. 4–35 .
• Michael Trott. Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry // Mathematica in Education and Research. — 1997. — Т. 6 . — С. 15–28 .
• Ron Shail. A proof of Lester's Theorem // Mathematical Gazette. — 2001. — Т. 85 . — С. 225–232 .
• John Rigby. // Mathematical Gazette. — 2003. — Т. 87 . — С. 444–452 .
• J.A. Scott. On the Lester circle and the Archimedean triangle // Mathematical Gazette. — Т. 89 . — С. 498–500 .
• Michael Duff. A short projective proof of Lester's theorem // Mathematical Gazette. — Т. 89 . — С. 505–506 .
• Stan Dolan. Man versus Computer // Mathematical Gazette. — Т. 91 . — С. 469–480 .

• Paul Yiu. // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 . — С. 175–209 .

Ссылки

• Details of its discovery. (англ.)
• at MathWorld (англ.)
• (англ.)