Interested Article - Виноградов, Александр Михайлович

Александр Михайлович Виноградов ( 18 февраля 1938 года , Новороссийск , СССР — 20 сентября 2019 года , Лиццано ин Бельведере, Италия ) — русский и итальянский математик , работавший в области дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами , алгебраической теории линейных дифференциальных операторов, гомологической алгебры , дифференциальной геометрии и алгебраической топологии , механики и математической физики , геометрической теории нелинейных дифференциальный уравнений и вторичного дифференциального исчисления .

Биография

А. М. Виноградов родился 18 февраля 1938 года в Новороссийске . Отец, Михаил Иванович Виноградов (1908—1995) — учёный-гидравлик, мать, Ильза Александровна Фирер (1912—1990) — врач-терапевт. Прадедом А. М. Виноградова был Антон Зиновьевич Смагин (1859—1932?), крестьянин-самоучка, сельский просветитель и депутат Государственной думы Российской империи II созыва .

В 1955 А. М. Виноградов поступил на мехмат МГУ , окончил его в 1960 и в 1964 защитил кандидатскую диссертацию по алгебраической топологии. В 1965 году начал работать на кафедре Высшей геометрии и топологии мехмата, где работал до своего отъезда в Италию в 1990 . Докторскую диссертацию защитил в 1984 в Институте математики Сибирского отделения АН СССР в Новосибирске . С 1993 по 2010 — профессор университета в г. Салерно (Италия).

Научные интересы

Свои первые работы А. М. Виноградов опубликовал ещё будучи студентом второго курса мехмата. Они относились к теории чисел и были выполнены совместно с Б. Н. Делоне и Д. Б. Фуксом . На старших курсах стал заниматься алгебраической топологией . Одной из первых его работ по этой тематике была статья , посвященная спектральной последовательности Адамса — вершине алгебраической топологии того времени и получившая благожелательный отзыв самого Дж. Ф. Адамса . Кандидатская диссертация А. М. Виноградова, выполненная под формальным руководством В. Г. Болтянского , посвящена гомотопическим свойствам пространства вложений окружности в сферу или шар.

В конце 1960-х годов под влиянием идей Софуса Ли он начал систематическое исследование оснований геометрической теории дифференциальных уравнений в частных производных. После знакомства с работами , Г. Гольдсмидта и Д. Квиллена А. М. Виноградов занялся изучением алгебраических, в частности, когомологических аспектов этой теории. Опубликованная в 1972 году короткая заметка в Докладах АН СССР (публикация длинных текстов в это время была совсем не простой). «Алгебра логики теории линейных дифференциальных операторов» содержала построение, как он сам это назвал, основных функторов дифференциального исчисления над произвольными коммутативными алгебрами.

Общая теория нелинейных дифференциальных уравнений, основанная на подходе к ним как к геометрическим объектам, вместе с примерами и приложениями подробно изложена в монографиях , и , а также в статьях , . Этот подход А. М. Виноградова объединяет бесконечно продолженные уравнения в категорию , объекты которой назывются диффеотопами (англ. diffiety — differential variety), а аппарат их изучения — вторичным дифференциальным исчислением (по аналогии с вторичным квантованием, англ. secondary calculus).

Одно из центральных мест в этой теории занимает ${\cal {C}}$ -спектральная последовательность (спектральная последовательность Виноградова), анонсированная в и позднее подробно описана в . Первый член этой спектральной последовательности дает единый когомологический подход ко многим ранее разрозненным понятиям и утверждениям, включая лагранжев формализм со связями, законы сохранения, косимметрии, теорему Нётер и критерий Гельмгольца в обратной задаче вариационного исчисления (для произвольных нелинейных дифференциальных операторов), позволяя пойти значительно дальше этих классических утверждений. Частным случаем ${\cal {C}}$ -спектральной последовательности (для «пустого» уравнения, то есть пространства бесконечных джетов) является так называемый вариационный бикомплекс. В рамках этого подхода в статье Виноградов ввел конструкцию новой скобки на градуированной алгебре линейных преобразований коцепного комплекса. Скобка Виноградова, названная им $L$ -коммутатором, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби с точностью до кограницы. Эта конструкция Виноградова предвосхитила общее понятие производной скобки на дифференциальной алгебре Лодэ (или алгебре Лейбница), введённой И. Косманн-Шварцбах в работе . В его совместной работе с А. Кабрас результаты были применены к . Вместе с соавторами Виноградов занимался анализом и сравнением различных обобщений (супер) алгебр Ли, включая сильно-гомотопические алгебры Ли (или $L_{\infty }$ -алгебры) Лады и Сташефа и алгебры Филиппова (см. — ). Структурному анализу алгебр Ли посвящены статьи , , в которых развивается теория совместности структур алгебр Ли и показывается, что любая конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем или над $\mathbb {R}$ может быть за несколько шагов собрана из двух простейших, называемых дионом и традоном.

Научные интересы Александра Михайловича в высшей степени были мотивированы сложными и важными проблемами современной физики — от структуры гамильтоновой механики , и динамики звуковых пучков до уравнений магнитогидродинамики (так называемых уравнений Кадомцева-Погуце, используемых в теории устойчивости высокотемпературной плазмы в токамаках ) и математических вопросов общей теории относительности — . Математическому осмыслению фундаментального физического понятия наблюдаемой уделено много внимания в книге , написанной А. М. Виноградовым в соавторстве с участниками его семинара и вышедшей под псевдонимом Джет Неструев.

Печатное наследие А. М. Виноградова составляют десять монографий и более сотни статей. см. на сайте .

Педагогическая и организационная деятельность

А. М. Виноградов воспитал плеяду учеников (в России, Италии, Швейцарии, Польше), 19 из них защитили кандидатские диссертации, 6 стали докторами наук и один — членом-корреспондентом РАН.

В 1968—1990 годах он вёл общемосковский научно-исследовательский семинар на мехмате МГУ, состоявший из двух частей, математической и физической, ставший заметным явлением московской математической жизни. По его инициативе и под его руководством в Италии, России и Польше проходили международные (Diffiety Schools) для студентов. В 1978 г. он был одним из организаторов и первых лекторов так называемого Народного университета , где велись занятия для ребят, которых не приняли на мехмат из-за их еврейского происхождения.

Александр Михайлович был инициатором и организатором представительной московской конференции (Secondary Calculus and Cohomological Physics, 1997), труды которой были опубликованы в и серии камерных конференций «Современная геометрия» (Current Geometry), проводившихся в Италии с 2000 по 2010 г. Он был одним из инициаторов и активным участником создания в Вене (ESI), а также журнала . В 1985 г. А. М. Виноградов создал лабораторию в Институте программных систем в Переславле-Залесском, в которой исследовались различные аспекты геометрии дифференциальных уравнений, и несколько лет был её научным руководителем.

Список литературы

А. М. Виноградов (1960), , Докл. АН СССР , 133:5: 999—1002 ; англ. пер.: A. M. Vinogradov (1960), , Soviet Math. Dokl. : vol. 1, p. 910–913 .
А. М. Виноградов (1972), , Докл. АН СССР , 205:5: 1025—1028 ; англ. пер.: A. M. Vinogradov (1972), , Soviet Math. Dokl. : vol. 13, p. 1058–1062 .
А. М. Виноградов, И. С. Красильщик, В. В. Лычагин (1986), , М.: Наука, 335 стр. {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) ; англ. пер.: I. S. Krasil’shchik, V. V. Lychagin, A. M. Vinogradov (1986), Introduction to the geometry of nonlinear differential equations , Adv. Stud. Contemp. Math., vol. 1, New York: Gordon and Breach science publishers, 441 pp., ISBN 2-88124-051-8 {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
А. М. Виноградов, И. С. Красильщик (ред.) (2005), Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики, 2-е изд., испр. , М.: Факториал Пресс, 380 стр., ISBN 5-88688-074-7 ; англ. пер. 1-го изд.: I. S. Krasil’shchik, A. M. Vinogradov, ed. (1999), Symmetries and conservation laws for differential equations of mathematical physics , Providence, RI: Transl. Math. Monogr., 182, Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-0958-X .
Дж. Неструев (2000), (PDF) , М.: МЦНМО, p. 300, ISBN 5-900916-57-X ; англ. пер.: J. Nestruev (2003), Smooth manifolds and observables , Grad. Texts in Math., vol. 220, New York: Springer-Verlag, xiv+222 pp., doi : , ISBN 0-387-95543-7 .
Второе англ. издание, исправленное и расширенное: J. Nestruev (2020), Smooth manifolds and observables , Grad. Texts in Math., vol. 220, New York: Springer-Verlag, pp. XVIII+433, ISBN 978-3-030-45649-8 , .
A. M. Vinogradov (1984), "Local symmetries and conservation laws", Acta Appl. Math. : vol. 2:1, p. 21–78 .
Русский перевод: "Локальные симметрии и законы сохранения", А. М. Виноградов, Избранные труды, том 1 , Москва: Издательство МЦНМО, стр. 9-86, 2021 .
А. М. Виноградов (1980), (PDF) , Итоги науки и техн. , М.: ВИНИТИ: Сер. Пробл. геом., Т. 11, 89—134 ; англ. пер.: A. M. Vinogradov (1981), "The geometry of nonlinear differential equations", J. Soviet Math. : vol. 17:1, p. 1624–1649, doi : .
А. М. Виноградов (1982), "Категория нелинейных дифференциальных уравнений", Уравнения на многообразиях. Новое в глобальном анализе, Изд-во Воронеж. гос. ун-та : 1982 ; англ. пер.: A. M. Vinogradov (1984), "Category of nonlinear differential equations", Global analysis – studies and applications I (Lecture Notes in Math.), Providence, RI: Amer. Math. Soc.: vol. 1108, p. 77–102, doi : .
А.. М.. Виноградов (1978), , Докл. АН СССР , 238:5: 1028—1031 ; англ. пер.: A. M. Vinogradov (1978), "A spectral sequence associated with a nonlinear differential equation, and algebro-geometric foundations of Lagrangian field theory with constraints", Soviet Math. Dokl. : vol. 19, p. 144–148 .
A. M. Vinogradov (1984), "The ${\cal {C}}$ -spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory", J. Math. Anal. Appl. , 100:1: 1—40, doi : ;
A. M. Vinogradov (1984), "The ${\cal {C}}$ -spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws.II. The nonlinear theory", J. Math. Anal. Appl. : vol. 100:1, p. 41–129, doi : .
A. M. Vinogradov (1990), , Матем. заметки , 47:6 : 138—140 .
Y. Kosmann-Schwarzbach (1996), (PDF) , Ann. Inst. Fourier (Grenoble) : vol. 46:5, p. 1243–1274, doi : , ISSN .
A. Cabras, A. M. Vinogradov (1992), "Extensions of the Poisson bracket to differential forms and multi-vector fields", J. Geom. Phys. : vol. 9:1, p. 75–100, doi : .
G. Marmo, G. Vilasi, A. M. Vinogradov (1998), "The local structure of n-Poisson and n-Jacobi manifolds", J. Geom. Phys. : vol. 25:1-2, doi : {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) , .
P. W. Michor, A. M. Vinogradov (1996), "n-ary Lie and associative algebras", Rend. Sem. Mat. Univ. Politec , Geometrical structures for physical theories. II (Vietri, 1996), Torino: vol. 54:4, 373—392 , .
A. M. Vinogradov, M. M. Vinogradov (2002), "Graded multiple analogs of Lie algebras", Acta Appl. Math. : vol. 72:1-2, p. 183–197, doi : , .
А. М. Виноградов, Е. М. Воробьев (1976), (PDF) , Акустич. журн. , 22:1 : 23—27 .
V. N. Gusyatnikova, A. V. Samokhin, V. S. Titov, A. M. Vinogradov, V. A. Yumaguzhin (1989), "Symmetries and conservation laws of Kadomtsev–Pogutse equations (their computation and first applications)", Acta Appl. Math. : vol. 15:1-2, p. 23–64, doi : {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: authors list) ( ссылка ) .
A. M. Vinogradov (2017), "Particle-like structure of Lie algebras", J. Math. Phys. : vol. 58:7 071703, doi : , .
A. M. Vinogradov (2018), "Particle-like structure of coaxial Lie algebras", J. Math. Phys. : vol. 59:1 011703, doi : .
Русский перевод этой и предыдущей статей: "Атомарная структура алгебр Ли", А. М. Виноградов, Избранные труды, том 1 , Москва: Издательство МЦНМО, стр. 133-288, 2021 .
А. М. Виноградов, И. С. Красильщик (1975), , УМН , 30:1(181): 173—198 .
А. М. Виноградов, Б. А. Купершмидт (1977), , УМН , 32:4(196): 175—236 .
Sparano, G.; G. Vilasi, A.M. Vinogradov (2002), "Vacuum Einstein metrics with bidimensional Killing leaves. I. Local aspects", Differential Geometry and Its Applications , 16 : 95—120, doi : , .
Sparano, G.; G. Vilasi, A.M. Vinogradov (2002), "Vacuum Einstein metrics with bidimensional Killing leaves. II. Global aspects", Differential Geometry and Its Applications , 17 : 15—35, doi : , .
Sparano, G.; G. Vilasi, A.M. Vinogradov (2001), "Gravitational fields with a non-Abelian, bidimensional Lie algebra of symmetries", Physics Letters B , 513 (1—2): 142—146, doi : , .
M. Henneaux, I. S. Krasil'shchik, A. M. Vinogradov, ed. (1998), Secondary calculus and cohomological physics (Moscow, 1997) , Contemp. Math., Providence, RI: Amer. Math. Soc., vol. 219, xiv+287 pp {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (множественные имена: editors list) ( ссылка ) , The Diffety Inst. Preprint Series, .
А. М. Виноградов (2021), Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление , Москва: Издательство МЦНМО, 365 стр ; пер. с англ.: A. M. Vinogradov (2001), "Cohomological analysis of partial differential equations and secondary calculus", Translations of Mathematical monographs , Providence, RI: AMS: vol. 204, 247 pp., ISBN 0-8218-2922-X .

Примечания

Aleksandr Mihajlovič Vinogradov //

Источники

// УМН. — 2020. — Т. 75 , вып. 2(452) . — С. 185–190 .
на сайте
. Страница в информационной системе Math-Net.Ru .
. Воспоминания И. С. Красильщика в журнале «Arzamas».
Воспоминания коллег и учеников в книге А. М. Виноградов, Избранные труды, т. 1 , Москва: Издательство МЦНМО, стр. 291-404, 2021 .