Interested Article - Категория множеств

Катего́рия мно́жеств — категория , объекты которой — множества , а морфизмы между множествами A и B — все функции из A в B . Обозначается Set . В аксиоматике Цермело — Френкеля «множества всех множеств» не существует, а работать с понятием класса не очень удобно; для этой проблемы было предложено несколько различных решений.

Свойства категории множеств

Все эпиморфизмы в Set сюръективны , все мономорфизмы — инъективны , и все изоморфизмы — биекции .
Пустое множество — начальный объект категории множеств, любой синглетон — терминальный объект .
Категория Set — полная и кополная категория. Например, в ней существуют произведения ( декартовы произведения множеств ) и копроизведения ( дизъюнктные объединения множеств ).
Set — прототип понятия конкретной категории , категория конкретна, если она «похожа на» Set некотором строго определенным образом.
Любое двухэлементное подмножество задает классификатор подобъектов в Set , степенной объект множества A является его булеаном , а экспоненциал множеств A и B — множество функций из A в B . Следовательно Set является топосом , в частности, декартово замкнутой категорией.
Set не является абелевой , аддитивной или предаддитивной . Её нулевые морфизмы — это пустые функции ∅ → X .
Каждый не начальный объект Set инъективен и (предполагая истинной аксиому выбора ) проективен .

Примечания

.
.
.
, Section I.7.

Литература

Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Blass, A. // Contemporary Mathematics. — 1984. — № 30 .
Feferman, S. . — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 201—247. — (Lecture Notes in Mathematics).
Lawvere, F. W. // Reprints in Theory and Applications of Categories. — 2005. — № 11 . — С. 1—35 .
Mac Lane, S. . — Springer, 1969. — Vol. 92. — P. 146—164. — (Lecture Notes in Mathematics).
Mac Lane, S. . — Springer, 1969. — Vol. 106. — P. 192—200. — (Lecture Notes in Mathematics).
Pareigis, Bodo. . — Academic Press, 1970. — (Pure and applied mathematics). — ISBN 978-0-12-545150-5 .