Проективный предел ( обратный предел ) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект ${\displaystyle X}$ по семейству (индексированному направленным множеством ) однотипных объектов ${\displaystyle X_{i}}$ и набору отображений ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$ , ${\displaystyle i\leqslant j}$ . Один из видов пределов в теории категорий .

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$ ,

${\displaystyle X=\projlim X_{i}}$ .

Проективный предел можно определить в произвольной категории . Двойственное понятие — прямой предел .

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова .

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть ${\displaystyle I}$ — направленное множество ${\displaystyle \leqslant }$ (например, множество целых чисел ), и пусть каждому элементу ${\displaystyle i\in I}$ сопоставлена алгебраическая система ${\displaystyle X_{i}}$ из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп , модулей над заданным кольцом ), а каждой паре ${\displaystyle (i,\;j)}$ , такой что ${\displaystyle i,\;j\in I}$ , ${\displaystyle i\leqslant j}$ , сопоставлен гомоморфизм ${\displaystyle f_{ij}:X_{j}\to X_{i}}$ , причём ${\displaystyle f_{ii}}$ — тождественные отображения для любого ${\displaystyle i\in I}$ и ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j\leqslant k}$ из ${\displaystyle I}$ . Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество ${\displaystyle X}$ прямого произведения ${\displaystyle X_{i}}$ , для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:

${\displaystyle \varprojlim X_{i}={\biggl \{}(x_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}\;{\bigg |}\;x_{i}=f_{ij}(x_{j})\ \forall i\leqslant j{\biggr \}}.}$

Существуют канонические проекции ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$ , выбирающие ${\displaystyle i}$ -ю компоненту прямого произведения для каждого ${\displaystyle i\in I}$ . Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства . Пусть ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ — семейство объектов и морфизмов категории C , удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда ${\displaystyle X}$ называется проективным пределом системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ , или ${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$ , если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\displaystyle \pi _{i}:X\to X_{i}}$ , что ${\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ ;
2. для любого семейства отображений ${\displaystyle \psi _{i}:Y\to X_{i}}$ , произвольного объекта ${\displaystyle Y}$ , для которого выполнены равенства ${\displaystyle \psi _{i}=f_{ij}\circ \psi _{j}}$ для любых ${\displaystyle i\leqslant j}$ , существует единственное отображение ${\displaystyle u:Y\to X}$ , что ${\displaystyle \psi _{i}=\pi _{i}\circ u}$ , для всех ${\displaystyle i\in I}$ .

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы ${\displaystyle (X_{i},f_{ij})}$ .

Примеры

• Целые ${\displaystyle p}$ -адические числа являются проективным пределом последовательности ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}}$ с естественными отображениями вида «взятие остатка» ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p^{n}}\to \mathbb {Z} _{p^{m}}}$ при ${\displaystyle n\geqslant m}$ .
• Кольцо ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ формальных степенных рядов над коммутативным кольцом ${\displaystyle R}$ — проективный предел колец ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ , индексированных натуральными числами, с естественными проекциями ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]\to \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ .
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией ) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются на соответствующем множестве-носителе.

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Проективный предел — статья из Математической энциклопедии .
• Jan-Erik Roos. Derived functors of inverse limits revisited // J. London Math. Soc.. — 2006. — Т. 73 , № 1 . — С. 65—83 . — doi : .