Двойственность
в
теории категорий
— соотношение между свойствами категории
C
и так называемыми
двойственными свойствами
двойственной категории
C
op
. Взяв утверждение, касающееся категории
C
и поменяв местами образ и прообраз каждого морфизма, так же как и порядок применения морфизмов, получим двойственное утверждение, касающееся категории
C
op
.
Принцип двойственности
состоит в том, что истинные утверждения после такой операции переходят в истинные, а ложные в ложные.
Формальное определение
Язык теории категорий определяется как
язык первого порядка
с двумя видами символов — объектами и морфизмами, со свойством объекта быть образом или прообразом морфизма, а также с символом для композиции морфизмов.
Пусть
σ
— любое слово языка. Двойственное ему слово
σ
op
образуется следующими правилами:
поменять местами все «образы» на «прообразы» в
σ
,
обратить порядок композиции морфизмов, то есть все вхождения
заменить на
.
Иными словами, необходимо обратить все
стрелки
и переставить аргументы всех
композиций
.
Двойственность
— это наблюдение, что
σ
выполняется в некоторой категории
C
тогда и только тогда, когда
σ
op
выполнено в
C
op
.
Примеры
Морфизм
—
мономорфизм
, когда из
следует
. Применив операцию двойственности, получаем утверждение о том, что из
следует
. Для морфизма
, это значит в точности то, что
f
—
эпиморфизм
. Таким образом, свойство «быть мономорфизмом» двойственно свойству «быть эпиморфизмом».
И. М. Виноградов.
Двойственная категория
// Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
(рус.)
. — 1977—1985.
И. М. Виноградов.
Двойственности принцип
// Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
(рус.)
. — 1977—1985.
И. М. Виноградов.
S-двойственность
// Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия
(рус.)
. — 1977—1985.
Маклейн С.
Глава 2. Конструкции в категориях
// Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред.
В. А. Артамонова
. —
М.
: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. —
ISBN 5-9221-0400-4
.