Сопряжённые функторы — пара функторов , состоящих в определённом соотношении между собой. Понятие сопряжённых функторов и сам термин были предложены Даниэлем Каном из Еврейского университета в Иерусалиме в 1956 году . Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению ${\displaystyle \mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))}$ . Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым.

Мотивировка

Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий , многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о сопряжённых функторах, таких как эквивалентность различных определений, и из того факта, что правые сопряжённые функторы коммутируют с пределами (а левые — с копределами), могут немедленно следовать доказательства многих интересных результатов.

Решение оптимизационной задачи

Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо . Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа r +1 , где r — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.

Приведенное выше описание очень расплывчато, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция « наиболее эффективна », если она удовлетворяет универсальному свойству , и « стандартна » в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как эти понятия двойственны , достаточно рассмотреть одно из них.

Идея использования начального свойства состоит в том, чтобы сформулировать проблему в терминах такой вспомогательной категории E , чтобы осталось лишь найти начальный объект E . Такая формулировка имеет то преимущество, что задача «нахождения наиболее эффективного решения» становится вполне строгой и в каком-то смысле сходной с задачей нахождения экстремума . Для выбора правильной категории E иногда требуется подбирать непростые приёмы: в случае полукольца R нужная категория — это категория, объекты которой — гомоморфизмы полуколец R → S , где S — некоторое кольцо с единицей. Морфизмы в E между R → S ₁ и R → S ₂ — коммутативные треугольники вида ( R → S ₁ , R → S ₂ , S ₁ → S ₂ ) , где S ₁ → S ₂ — гомоморфизм колец. Существование морфизма между R → S ₁ и R → S ₂ означает, что S ₁ — не менее эффективное решение проблемы, чем S ₂ : S ₂ имеет больше добавленных элементов и (или) больше соотношений между ними, чем S ₁ .

Сказать, что этот метод определяет « наиболее эффективное » и « стандартное » решение проблемы — то же самое, что сказать, что он задает сопряжённые функторы.

Формальные определения

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов. Их эквивалентность элементарна, но не тривиальна.

Определение с помощью универсальной стрелки легко сформулировать, оно также наиболее близко к нашей интуиции по поводу «оптимизационной задачи».

Определение с помощью единицы и коединицы удобно для функторов, часто встречающихся в алгебре, потому что предоставляет формулы, которые можно проверить напрямую.

Определение с помощью множеств Hom делает очевидной симметричность определения и проясняет причины для именования функторов «сопряжёнными».

Универсальная стрелка

Функтор F : C ← D — левый сопряжённый функтор , если для каждого объекта X категории C существует терминальная стрелка ε _X из F в X . Если для каждого X в C мы выберем объект G ₀ X в D , для которого определена терминальная стрелка ε _X : F ( G ₀ X ) → X , то существует единственный функтор G : C → D , такой, что GX = G ₀ X и для любого морфизма в категории C f : X → Xʹ выполняется ε _Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε _X ; F тогда называют левым сопряжённым к функтору G .

Функтор G : C → D — правый сопряжённый функтор , если для каждого объекта Y категории D существует начальная стрелка из Y в G . Если для каждого Y в D выбрать объект F ₀ Y в C , такой, что определена начальная стрелка η _Y : Y → G ( F ₀ Y ) из Y в G , то существует единственный функтор F : C ← D , такой, что FY = F ₀ Y и GF ( g ) ∘ η _Y = η _Yʹ ∘ g для g : Y → Yʹ — морфизма в D ; G тогда называют правым сопряжённым к функтору F .

Как и подразумевает терминология, верно, что F — левый сопряжённый для G тогда и только тогда, когда G — правый сопряжённый для F . Однако это не очевидно из определения через универсальную стрелку, но очевидно благодаря определению через единицу и коединицу.

Единица и коединица

Для задания единицы и коединицы в категориях C и D нужно зафиксировать два функтора F : C ← D , G : C → D и два естественных преобразования :

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{\mathcal {C}}\\\eta &:1_{\mathcal {D}}\to GF\end{aligned}}}$ ,

называемых соответственно коединицей и единицей сопряжения, таких, что композиции

${\displaystyle F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F}$ и

${\displaystyle G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G}$

являются тождественными преобразованиями 1 _F и 1 _G функторов F и G соответственно.

В такой ситуации F является левым сопряжённым для G и G является правым сопряжённым для F . Иногда это отношение обозначают ${\displaystyle (\varepsilon ,\eta ):F\dashv G}$ или просто ${\displaystyle F\dashv G}$ .

В форме уравнений приведённые выше условия на (ε,η) называются уравнениями коединицы и единицы :

${\displaystyle {\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}}$

Определение через функтор Hom

Рассмотрим два функтора F : C ← D и G : C → D . Пусть существует естественный изоморфизм :

${\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)}$ .

Это определяет семейство биекций:

${\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)}$ .

для всех объектов X в C и Y в D .

Здесь F называется левым сопряжённым для G и G — правым сопряжённым для F .

Чтобы понять, что подразумевается под естественностью Φ , нужно объяснить, каким образом hom _C ( F -, -) и hom _D (-, G -) являются функторами. На самом деле, они оба являются бифункторами из D ^op × C в Set . В явном виде естественность Φ означает, что для всех морфизмов f : X → X ′ в C и морфизмов g : Y ′ → Y в D следующая диаграмма коммутирует:

Примеры

Свободные группы

Конструкция свободной группы является удобным примером для прояснения сути определений. Пусть F : Grp ← Set — функтор, который множеству Y сопоставляет свободную группу, порожденную элементами Y , и G : Grp → Set — забывающий функтор , сопоставляющий группе X её множество-носитель. Тогда F — левый сопряжённый для G :

Терминальные стрелки: для каждой группы X , группа FGX — свободная группа, порождённая элементами X как множеством. Пусть ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ — гомоморфизм групп, который переводит образующие FGX в соответствующие элементы X . Тогда ${\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})}$ — терминальный морфизм из F в X , потому что любой гомоморфизм из свободной группы FZ в X проносится через ${\displaystyle \varepsilon _{X}:FGX\to X}$ при помощи единственной функции из множества Z во множество X . Это означает, что ( F , G ) — пара сопряжённых функторов.

Множества Hom: отображения из свободной группы FY в группу X однозначно соответствуют отображениям множества Y во множество GX : каждый гомоморфизм однозначно определяется своими значениями на образующих свободной группы. Прямым вычислением можно проверить, что это соответствие — естественное преобразование, а значит, пара ( F , G ) сопряжённая.

Дальнейшие примеры из алгебры

• Все — результаты применения свободного функтора, который является левым сопряжённым для забывающего функтора .
• Произведения , ядра и уравнители — примеры категорных пределов . Все функторы предела являются правыми сопряжёнными к диагональному функтору . Аналогично, копроизведения , коядра и коуравнители являются копределами , а функтор копредела — левый сопряжённый для диагонального.
• Добавление единицы в псевдокольцо (пример из раздела «Мотивировка»). Если нам дано псевдокольцо R , то соответствующее ему кольцо — это произведение R × Z , на котором определено Z -билинейное произведение по формуле (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . Построенный функтор сопряжён слева к забывающему функтору, отправляющему кольцо в соответствующее ему псевдокольцо.
• Расширения колец. Пусть R и S — кольца, и ρ : R → S — гомоморфизм колец. Тогда S можно рассматривать как (левый) R -модуль, и тензорное произведение с S определяет функтор F : R - Mod → S - Mod . Здесь F сопряжён слева к забывающему функтору G : S - Mod → R - Mod .
• Тензорные произведения . Если R — кольцо и M — правый R -модуль, то тензорное произведение с M определяет функтор F : R - Mod → Ab . Функтор G : Ab → R - Mod , определенный как G ( A ) = hom _Z ( M , A ) сопряжён справа к F .
• Поле частных . Для категории Dom _m целостных колец и инъективных гомоморфизмов, забывающий функтор Field → Dom _m имеет левый сопряжённый, сопоставляющий каждому целостному кольцу его поле частных .
• Кольца многочленов '. Для Ring _* — категории коммутативных колец с отмеченным элементом и гомоморфизмов, сохраняющих отмеченный элемент, забывающий функтор G: Ring _* → Ring имеет левый сопряжённый — он сопоставляет кольцу R пару ( R [ x ], x ) , где R [ x ] — кольцо многочленов с коэффициентами из R .
• Абелианизация . Забывающий функтор G : Ab → Grp имеет левый сопряжённый, называемый функтором абелианизации, который каждой группе G сопоставляет факторгруппу по коммутанту : G ^ab = G /[ G , G ] .

Примеры из топологии

• Функтор с двумя сопряжёнными. Пусть G — функтор, сопоставляющий топологическому пространству его множество-носитель (то есть забывающий топологию). У G есть левый сопряжённый F , наделяющий множества дискретной топологией , и правый сопряжённый H , наделяющий множества тривиальной топологией .
• Надстройка и пространства петель . По данным топологическим пространствам X и Y можно построить пространство [ SX , Y ] классов гомотопии отображений из надстройки SX в Y . Оно естественным образом изоморфно пространству [ X , Ω Y ] классов гомотопии отображений из X в пространство петель Ω Y , поэтому функторы надстройки и пространства петель сопряжены в гомотопической категории топологических пространств.
• Вложение G : KHaus → Top категории компактных хаусдорфовых пространств в категорию топологических пространств имеет левый сопряжённый функтор F : Top → KHaus — компактификацию Стоуна — Чеха . Коединица этой пары задаёт непрерывное отображение из произвольного топологического пространства X в его компактификацию. Это отображение является вложением тогда и только тогда, когда X — вполне регулярное пространство .

Свойства

Существование

Не каждый функтор G : C → D имеет левый или правый сопряжённый. Если C — полная категория , то по теореме о сопряжённых функторах G имеет левый сопряжённый тогда и только тогда, когда для любого Y из категории D существует семейство морфизмов:

f _i : Y → G ( X _i ) ,

где индексы i пробегают множество I , такое, что любой морфизм:

h : Y → G ( X )

может быть записан как:

h = G ( t ) o f _i

для некоторого i в I и некоторого морфизма:

t : X _i → X в C .

Аналогичное утверждение характеризует функторы, имеющие правый сопряжённый.

Единственность

Если функтор F : C ← D имеет два правых сопряжённых G и G ′ , то G и G ′ естественно изоморфны .

В другую сторону, если F сопряжён слева к G , и G естественно изоморфен G ′ , то F также сопряжён слева к G ′ .

Композиция

Композиции сопряжений можно брать естественным образом. Если 〈 F , G , ε, η〉 — сопряжение между C и D , и 〈 F ′, G ′, ε′, η′〉 — сопряжение между D и E , то функтор

${\displaystyle F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}}$

сопряжён слева к функтору

${\displaystyle G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}}$ .

Можно образовать категорию, объекты которой — все малые категории , а морфизмы — сопряжения.

Коммутирование с пределами

Наиболее важное свойство сопряжённых функторов — их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряжённый (то есть являющийся правым сопряжённым), коммутирует с пределами в категорном смысле. Соответственно, функтор, имеющий правый сопряжённый, конепрерывен , то есть коммутирует с . Поскольку многие конструкции являются пределами или копределами, из этого сразу вытекает несколько следствий. Например:

• Применение правого сопряжённого функтора к произведению даёт произведение образов.
• Применение левого сопряжённого функтора к копроизведению даёт копроизведение образов.
• Каждый правый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен слева .
• Каждый левый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен справа .

Примечания

Литература

• Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• F. Borceux. Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (англ.) . — John Wiley & Sons , 1990. — ISBN 0-471-60922-6 .