Фильтр — подмножество частично упорядоченного множества , удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии , где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу .

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети , разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество ${\displaystyle F}$ полурешётки ${\displaystyle L}$ называется фильтром , если

• для всех ${\displaystyle a,b\in F}$ , ${\displaystyle a\land b\in F}$
• для всех ${\displaystyle a\in F}$ и ${\displaystyle b}$ таких, что ${\displaystyle a\leq b}$ , ${\displaystyle b\in F}$

Фильтр называется собственным , если ${\displaystyle F\neq L}$ .

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром .

Фильтр ${\displaystyle F}$ решётки называется простым , если в нём для всех ${\displaystyle a,b\in L}$ из того, что ${\displaystyle a\lor b\in F}$ , следует, что либо ${\displaystyle a\in F}$ , либо ${\displaystyle b\in F}$ .

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент ${\displaystyle x}$ , называется главным фильтром , сгенерированным главным элементом ${\displaystyle x}$ .

Если ${\displaystyle F}$ фильтр, то ${\displaystyle L\backslash F}$ является идеалом .

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется подмножество ${\displaystyle D\subseteq M}$ , для которого выполняются условия :

• ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ ,
• ${\displaystyle x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D}$ ,
• ${\displaystyle x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D}$ ,
• ${\displaystyle x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D}$ .

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• ${\displaystyle \forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D}$ .

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

• ${\displaystyle \forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D}$ .

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на ${\displaystyle M}$ .

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества ${\displaystyle X}$ можно определить решётку его подмножеств ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$ . Тогда фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ определяется как подмножество ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ , удовлетворяющее следующим условиям :

• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\neq \varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing \notin {\mathfrak {F}}}$
• пересечение любых двух элементов ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$
• надмножество любого элемента ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Фильтр вида ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}}$ называется фильтром, порожденным множеством ${\displaystyle Z}$ . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным . Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — фильтр на множестве ${\displaystyle X}$ . Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ подмножеств ${\displaystyle B\subset {\mathfrak {F}}}$ называется базой (базисом) фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , если любой элемент фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ содержит некоторый элемент базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , то есть для любого ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ существует ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle B\subset Y}$ . При этом фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ порождает фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Для того, чтобы семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B\}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ являлось базой некоторого фильтра на ${\displaystyle X}$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий ( аксиом базы ):

• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\neq \varnothing }$ ;
• ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathfrak {B}}}$ ;
• для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ существует ${\displaystyle C\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle A\cap B\supset C}$ .

Две базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ называются эквивалентными , если любой элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$ , и наоборот, любой элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ .

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ заданы два фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ . Говорят, что фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ мажорирует фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ( ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ сильнее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ тоньше ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ ), если ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}}$ . В этом случае также говорят, что фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ мажорируется фильтром ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ ( ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ слабее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ , ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ грубее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ ).

Говорят, что база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильнее базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , и записывают ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$ , если любой элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$ . База ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильнее базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ тогда и только тогда, когда фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ , порожденный базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ , сильнее фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , порожденного базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ .

Базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'}$ .

Фильтры в топологических пространствах

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологическое пространство и ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — фильтр на множестве ${\displaystyle X}$ . Точка ${\displaystyle a\in X}$ называется пределом фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , если любая окрестность ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ принадлежит фильтру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ . Обозначение: ${\displaystyle a\in \lim {\mathfrak {F}}}$ . Если ${\displaystyle a}$ является единственным пределом фильтра, то также пишут ${\displaystyle a=\lim {\mathfrak {F}}}$ .

Для фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , порожденного базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ , точка ${\displaystyle a}$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность ${\displaystyle V(a)}$ целиком содержит некоторое множество из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ .

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка ${\displaystyle a\in X}$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , если ${\displaystyle a}$ принадлежит замыканию любого множества из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ , то есть ${\displaystyle a\in {\overline {Y}}}$ для всех ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ . Равносильно, для любой окрестности ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ и для любого ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ выполнено ${\displaystyle V(a)\cap Y\neq \varnothing }$ . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если ${\displaystyle X}$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше .
• Если ${\displaystyle X}$ — бесконечное множество мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ , то множество дополнений множеств мощности ${\displaystyle <{\mathfrak {m}}}$ тоже является фильтром.

См. также

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация

Примечания

Литература

• Александрян Р. А. , Общая топология. — М. : Высшая школа, 1979. — 336 с.
• , Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М. : Наука, 1975. — 240 с.