Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля ${\displaystyle E\supset K}$ , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов ${\displaystyle \alpha }$ , минимальный аннулятор ${\displaystyle f(x)}$ над ${\displaystyle K}$ для которых не имеет кратных корней. Производная ${\displaystyle f'(x)}$ должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики ${\displaystyle p}$ .

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если ${\displaystyle K\subset E\subset K^{*}}$ , где ${\displaystyle K^{*}}$ — алгебраическое замыкание поля ${\displaystyle K}$ , то ${\displaystyle E}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов ${\displaystyle \sigma }$ поля ${\displaystyle E}$ в алгебраическое замыкание ${\displaystyle K^{*}}$ над ${\displaystyle K}$ равно степени ${\displaystyle [E:K]}$ . В случае несепарабельных расширений это число является делителем ${\displaystyle [E:K]}$ и называется сепарабельной степенью ${\displaystyle [E:K]_{s}}$ (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений

Если расширения ${\displaystyle E\supseteq K}$ и ${\displaystyle F\supseteq E}$ сепарабельны, то и расширение ${\displaystyle F\supseteq K}$ сепарабельно. Обратно, если ${\displaystyle F\supseteq K}$ сепарабельно, то и ${\displaystyle E\subseteq K}$ и ${\displaystyle F\subseteq E}$ сепарабельны.

Если расширение ${\displaystyle E\supseteq K}$ сепарабельно, то для любого расширения ${\displaystyle F\supseteq K}$ (если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle E}$ содержатся в каком-нибудь поле) ${\displaystyle EF}$ является сепарабельным расширением ${\displaystyle K}$ .

Теорема о примитивном элементе : если ${\displaystyle E=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})}$ , где ${\displaystyle \alpha _{1}}$ алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над ${\displaystyle K}$ , а ${\displaystyle \alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент ${\displaystyle \theta }$ (называемый примитивным элементом), что ${\displaystyle E=K(\theta )}$ .

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения

Расширение ${\displaystyle E\supseteq K}$ называется линейно свободным от ${\displaystyle L\supseteq K}$ , если любое конечное множество элементов ${\displaystyle E}$ линейно независимое над ${\displaystyle K}$ остаётся линейно независимым и над ${\displaystyle L}$ . Данное определение симметрично: если ${\displaystyle E}$ линейно свободно от ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K}$ , то и наоборот, ${\displaystyle L}$ линейно свободно от ${\displaystyle E}$ над ${\displaystyle K}$ .

Расширение (не обязательно алгебраическое) ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle K}$ называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального ${\displaystyle m}$ линейно свободно от расширения ${\displaystyle K^{p^{-m}}}$ — порождённого присоединением всех корней степени ${\displaystyle p^{m}}$ из элементов ${\displaystyle K}$ . Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа ${\displaystyle m}$ данное определение не зависит и равносильно линейной свободе ${\displaystyle E}$ от ${\displaystyle K^{p^{-\infty }}}$ — композита всех ${\displaystyle K^{p^{-m}}}$ (критерий Маклейна ).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра . — М. : Наука, 1975.
• Зарисский О. , Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М. : Иностранная литература, 1963. — Т. 1 .
• Ленг С. Алгебра . — М. : Мир, 1967.