Кривая Гомпертца или функция Гомпертца , названная в честь Бенджамина Гомпертца , является сигмовидной функцией . Это тип математической модели для временных рядов , где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую , но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомпертца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными

Формула

${\displaystyle y(t)=ae^{be^{ct}}}$

где

• a верхняя асимптота ${\displaystyle ae^{be^{-\infty }}=ae^{0}=a}$
• b, c отрицательные числа (параметры роста)
• b устанавливает смещение по x
• c задаёт темп роста (масштабирование по x )
• e число Эйлера ( e = 2.71828…)

Производная

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомпертца , в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$

где

• ${\displaystyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ - темп роста.
• k - произвольная постоянная.

Примеры использования

Примеры использования для кривых Гомпертца включают в себя:

• Количество мобильных телефонов : пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
• Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
• Моделирование роста опухоли.
• Моделирование роста википедии .

См. также

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста

Ссылки

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .