Гипотеза Визинга — предположение о связи доминирующего множества и прямого произведения графов , не подтверждённое по состоянию на 2017 год, при этом гипотеза доказана для ряда частных случаев.

Впервые была высказана Вадимом Визингом . Утверждение гипотезы гласит, что для ${\displaystyle \gamma (G)}$ — минимального числа вершин в доминирующем множестве графа ${\displaystyle G}$ , выполнено:

${\displaystyle \gamma (G\,\square \,H)\geqslant \gamma (G)\,\gamma (H)}$ .

В 1995 году предположены аналогичные границы для доминирующего числа тензорного произведения графов , однако позже найден контрпример.

Примеры

Доминирующее число цикла с 4 вершинами C ₄ равно двум — любая отдельная вершина доминирует над собой и двумя соседями, но любая пара доминирует над полным графом. Произведение C ₄ ◻ C ₄ является графом четырёхмерного гиперкуба . Он имеет 16 вершин, и любая отдельная вершина доминирует над собой и четырьмя соседями, так что три вершины могут доминировать только над 15 из 16 вершин. Таким образом, по меньшей мере четыре вершины должны содержаться в доминирующем множестве графа, как раз то число, которое даёт гипотеза Визинга.

Доминирующее число произведения может быть существенно больше границы, данной в гипотезе Визинга. Например, для звезды K _{1, n} доминирующее число γ(K _{1, n} ) равно единице — всего одна центральная вершина доминирует над всем графом. Для графа G = K _{1, n} ◻ K _{1, n} , образованного произведение двух звёзд, гипотеза Визинга утверждает, что доминирующее число не меньше 1 × 1 = 1. Однако, на самом деле, доминирующее множество много больше. Граф содержит n ² + 2 n + 1 вершин — n ² получаем из листьев двух сомножителей, 2 n получаем из произведения листьев на центр, и одна вершина получается произведением центров. Каждое произведение листа на центр доминирует в точности над n лист-лист вершинами произведения, так что n лист-центр вершин нужно для доминирования над всеми лист-лист вершинами. Однако, ни одна вершина лист-центр не доминирует над такой же другой вершиной, так что даже в случае выбора n вершин лист-центр в доминирующее множество, остаётся n недоминируемых лист-центр вершин, которые доминируются одной центр-центр вершиной. Таким образом, доминирующее число этого графа равно γ(K _{1, n} ◻ K _{1, n} ) = n + 1, что много больше тривиальной границы, которую даёт гипотеза Визинга.

Существует бесконечное число семейство произведений графов, для которых оценка в гипотезе Визинга точна . Например, если G и H оба являются связными графами и каждый имеет по меньшей мере четыре вершины и число вершин в точности вдвое больше доминирующего числа, то γ( G ◻ H ) = γ( G )γ( H ) . Графы G и H с таким свойством содержат цикл C ₄ с четырьмя вершинами вместе с корневым произведением связного графа и одиночного ребра .

Частичные результаты

Ясно, что гипотеза выполняется, когда либо G , либо H имеет доминирующее число 1 — произведение содержит изоморфную копию второго, так что его доминирующее множество имеет по меньшей мере γ( G )γ( H ) вершин.

Известно, что гипотеза Визинга выполняется для циклов и для графов с доминирующим числом два .

В 2000 году доказано, что доминирующее число произведения по меньшей мере равно половине границы, указанной в гипотезе, для всех G и H .

Верхние границы

Визинг в оригинальной статье заметил, что:

γ( G ◻ H ) ≤ min{γ( G )|V( H )|, γ( H )|V( G )|}.

Доминирующее множество, достигающее эту границу, можно получить как прямое произведение доминирующих множеств одного из графов G или H с множеством всех вершин другого графа.

Примечания

Литература

• A. M. Барцалкин, Л. Ф. Герман. Внешнее число устойчивости прямого произведения графов // Известия АН МССР. — 1979. — Т. 1 . — С. 5–8 .
• W. Edwin Clark, Stephen Suen. Inequality related to Vizing's conjecture // Electronic Journal of Combinatorics. — 2000. — Т. 7 , вып. 1 . — С. N4 .
• M. El-Zahar, C. M. Pareek. Domination number of products of graphs // Ars Combin.. — 1991. — Т. 31 . — С. 223–227 .
• J. F. Fink, M. S. Jacobson, L. F. Kinch, J. Roberts. On graphs having domination number half their order // Period. Math. Hungar.. — 1985. — Т. 16 , вып. 4 . — С. 287–293 . — doi : .
• S. Gravier, A. Khelladi. On the domination number of cross products of graphs // Discrete Mathematics. — 1995. — Т. 145 . — С. 273–277 . — doi : .
• B. L. Hartnell, D. F. Rall. On Vizing's conjecture // Congr. Numer.. — 1991. — Т. 82 . — С. 87–96 .
• Wilfried Imrich, Sandi Klavžar. Product Graphs: Structure and Recognition. — Wiley, 2000. — ISBN 0-471-37039-8 .
• M. S. Jacobson, L. F. Kinch. // J. Graph Theory. — 1986. — Т. 10 . — С. 97–106 . — doi : .
• Sandi Klavžar, B. Zmazek. On a Vizing-like conjecture for direct product graphs // Discrete Mathematics. — 1996. — Т. 156 . — С. 243–246 . — doi : .
• C. Payan, N. H. Xuong. // J. Graph Theory. — 1982. — Т. 6 . — С. 23–32 . — doi : .
• В. Г. Визинг. Некоторые нерешенные задачи в теории графов // Успехи математических наук. — 1968. — Т. 23 , вып. 6 . — С. 117–134 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .