Гипо́тезы По́ллока — несколько гипотез о фигурных числах , которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок . Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах , в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел.

1. Гипотеза 1 : любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел . Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность в OEIS ) требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано) .
2. Гипотеза 2 : любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел . До сих пор не доказана и не опровергнута.
3. Гипотеза 3 : любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел . До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, ..., последовательность в OEIS ), скорее всего, последнее из них равно 343867 .
4. Гипотеза 4 , обобщающая часть предыдущих. Обозначим ${\displaystyle m}$ число вершин одного из пяти правильных многогранников , а ${\displaystyle n}$ — число его граней (4, 6, 8, 12 или 20). Тогда каждое натуральное число является суммой не более чем ${\displaystyle m+1}$ фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть :

( ${\displaystyle n=4}$ , тетраэдр ) не более 5 тетраэдральных чисел ;

( ${\displaystyle n=6}$ , октаэдр ) не более 7 октаэдральных чисел ;

( ${\displaystyle n=8}$ , куб ) не более 9 кубических чисел ;

( ${\displaystyle n=12}$ , икосаэдр ) не более 13 икосаэдральных чисел ;

( ${\displaystyle n=20}$ , додекаэдр ) не более 21 додекаэдральных чисел .

Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.

Примечания

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Ссылки

• от 21 ноября 2021 на Wayback Machine (англ.) .