Структура Ходжа веса ${\displaystyle n}$ , или чистая структура Ходжа — объект, состоящий из решётки ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ в действительном векторном пространстве ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R} }$ и разложения ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\bigoplus _{n}H^{p,\;q}}$ , где ${\displaystyle n=p+q}$ , комплексного векторного пространства ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C} }$ , которое называется . При этом должно выполняться условие ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}=H^{q,\;p}}$ , где ${\displaystyle {\bar {H}}^{p,\;q}}$ — комплексное сопряжённое в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {R} }\bigotimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ .

Иначе, разложение Ходжа можно описать, используя понятие , или , ${\displaystyle F^{r}=\bigoplus _{p\geqslant r}H^{p,\;q}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ такой, что ${\displaystyle {\bar {F}}^{s}\cap F^{r}=0}$ при ${\displaystyle r+s\neq n}$ . Тогда подпространства ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ восстанавливаются по формуле ${\displaystyle H^{p,\;q}={\bar {F}}^{p}\cap F^{q}}$ .

Данную структуру в пространстве ${\displaystyle n}$ -мерных когомологий ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ кэлерова многообразия ${\displaystyle X}$ впервые изучил У. Ходж .

В этом случае подпространства ${\displaystyle H^{p,\;q}}$ описываются как пространства типа ${\displaystyle (p,\;q)}$ или как когомологии ${\displaystyle H^{q}(X,\;\Omega ^{p})}$ пучков ${\displaystyle \Omega ^{p}}$ голоморфных дифференциальных форм .

Фильтрация Ходжа в ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ возникает из фильтрации комплекса пучков ${\displaystyle \Omega =\sum _{p\geqslant 0}\Omega ^{p}}$ , ${\displaystyle n}$ -мерные гиперкогомологии которого изоморфны ${\displaystyle H^{n}(X,\;\mathbb {C} )}$ , подкомплексами вида ${\displaystyle \sum _{r\geqslant p}\Omega ^{r}}$ .

Смешанная структура Ходжа

Более общим понятием является смешанная структура Ходжа — это объект, состоящий из решётки ${\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {R} }$ , , или фильтрации весов , ${\displaystyle W_{n}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q} }$ и убывающей фильтрации (фильтрации Ходжа) ${\displaystyle F^{p}}$ в ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {C} }$ таких, что на пространстве ${\displaystyle (W_{n}/W_{n+1})\otimes \mathbb {C} }$ фильтрации ${\displaystyle F^{p}}$ и ${\displaystyle {\bar {F}}^{p}}$ определяют чистую структуру Ходжа веса ${\displaystyle n}$ .

П. Делинь ( P. Deligne ) в своей работе рассмотрел смешанные структуры Ходжа в когомологиях комплексного алгебраического многообразия (не обязательно компактного или гладкого ) как аналог структуры в .

Структуры Ходжа имеют важные приложения в алгебраической геометрии в теории и в теории особенностей гладких отображений .

Примечания