Кинематика сплошной среды
(от
др.-греч.
κίνημα
— движение) — раздел
кинематики
, изучающий
движение
сплошной среды
(модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание
системы отсчёта
, относительно которой описывается движение.
Модель сплошной среды
Модель оперирует понятием элементарного
объема
, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много
частиц
(атомов, молекул, пр.),
взаимодействующих
друг с другом.
Длина свободного пробега
(среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера
. Такую модель можно описывать
частицами сплошной среды
— элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.
Лагранжев и эйлеров подходы для описания сплошной среды
Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные
. Такие идентификационные параметры частиц среды называются
лагранжевыми (или материальными) координатами
. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например,
декартовы координаты
частиц в некоторый момент времени
. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.
Координаты точек среды
в пространственной системе координат называются
эйлеровыми (или пространственными) координатами
. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат
материальной частицы
в любой момент времени, то есть нахождении функций
или же функций
, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.
Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (
плотность
,
температуру
,
ускорение
, и т. д.) можно определять как
функцию
лагранжевых координат
(
лагранжев подход
), так и функцию эйлеровых координат
(
эйлеров подход
).
Для любой функции в эйлеровых переменных
выполняется
-
.
Траекториeй частицы
называется геометрическое место ее положений во все моменты времени.
Траектория
частицы определяется законом движения
Линией тока
в момент времени
называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды
в этот момент времени.
Линии тока
определяются из уравнений
-
.
Формула Коши-Гельмгольца
Формула Коши-Гельмгольца связывает
скорость
частиц среды в точке
, находящейся в малой
окрестности
некоторой точки
, если известна скорость частиц в точке
.
-
где
—
тензор
скоростей деформаций, а
— тензор малых деформаций,
— вектор вихря.
Доказательство
Точка
представима как
-
.
В
линейном приближении
-
, или через
оператор набла
:
.
Перемещение точки
относительно
имеет вид
, из показанного выше
или покоординатно
-
.
Можно переписать
-
где
-
, а
.
После преобразования
-
Получается формула Коши-Гельмгольца:
-
Таким образом,
, или для скоростей:
.
Чистая деформация
Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения
. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:
-
По формуле Коши-Гельмгольца
.
В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент
на сфере радиуса
перейдут за
в
эллипсоид
, называемый
эллипсоидом деформации
. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.
Длины главных осей эллипсоида описываются
— корнями
.
Однородная деформация
В том случае, когда
, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.
При однородной деформации:
-
Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
-
Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
-
Если
в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и
одинаков во всех точках среды.
Условие совместности
В силу определения
, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости
. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:
-
Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.
Литература
-
Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
-
Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2