По́лная систе́ма коммути́рующих наблюда́емых (ПСКН) — множество перестановочных (коммутирующих) самосопряжённых операторов , описывающих квантовые наблюдаемые и определяющих обобщённый базис пространства чистых состояний квантовой системы . Это понятие впервые было предложено Дираком и является одним из основных в квантовой механике . Обобщенные собственные значения операторов ПСКН называются квантовыми числами .

Точное определение

Полной системой коммутирующих наблюдаемых называется множество самосопряжённых линейных операторов ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ , для которой выполняются следующие условия:

1. Перестановочность (коммутативность): операторы ${\displaystyle X_{i}}$ и ${\displaystyle X_{j}}$ являются перестановочными для всех i и j.
2. Взаимная независимость: ни один из операторов ${\displaystyle X_{k}}$ не является функцией остальных.
3. Полнота: любой оператор ${\displaystyle A}$ , перестановочный со всеми операторами ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ , является функцией от этих операторов, то есть ${\displaystyle A=A(X_{1},...,X_{n})}$ .

Физический смысл

Для определения квантовой системы необходимо описать свойства квантовых наблюдаемых и построить пространство состояний . Свойства наблюдаемых задаются коммутационными соотношениями для самосопряжённых операторов, описывающих квантовые наблюдаемые. Если квантовые наблюдаемые описываются ограниченными операторами , то согласно , пространство чистых состояний может быть определено как гильбертово пространство . Для неограниченных операторов пространство чистых состояний описывается как гильбертово пространство. Поскольку гильбертово пространство является линейным , то для его определения достаточно задать базисные вектора и действие самосопряжённых операторов, описывающих наблюдаемые. Если базисные векторы определять как собственные вектора операторов, то для этого необходимо использовать лишь перестановочные (или коммутирующие) между собой операторы ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ . Для ограниченных операторов выделяют наборы коммутирующих операторов, а для неограниченных — перестановочные. При этом перестановочные операторы должны быть взаимно независимыми и образовывать полную систему, то есть быть ПСКН. Наборы собственных значений ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ для этих операторов определяют векторы ${\displaystyle |x_{1},...,x_{n}>}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ .

Собственные векторы определены с точностью до постоянного множителя, поэтому их можно нормировать. В результате нормированные векторы ${\displaystyle |x_{1},...,x_{n}>}$ , являющиеся собственными векторами полной системы взаимно независимых перестановочных операторов ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ , образует полную ортонормированную систему в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ .

Если образующие ПСКН наблюдаемых ${\displaystyle X_{k}}$ одновременно принимают точные значения ${\displaystyle x_{k}}$ , то это означает, что квантовая система находится в чистом состоянии . Поэтому полная система коммутирующих наблюдаемых иногда называется полным набором совместно измеримых наблюдаемых.

В настоящее время неизвестны необходимые и достаточные условия, при которых операторная алгебра с инволюцией обладает полной системой перестановочных операторов .

Литература

• Березин Ф. А. , Шубин М. А. Уравнение Шредингера. — М. : Издательство МГУ , 1983. — 392 с.
• Дирак П. §10. Наблюдаемые // Принципы квантовой механики. — 2-ое изд.. — М. : Наука , 1979. — С. 52—60. — 480 с.
• Боум А. Глава IV // . — М. : Мир , 1990. — С. —202. — 720 с.
• Мессиа А. Глава VIII. Общий формализм квантовой теории // Квантовая механика. — М. : Наука , 1978. — Т. 1. — С. 294—295. — 480 с.