«О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений» ( нем. Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen ) — написанная Вернером Гейзенбергом статья, которая появилась в Zeitschrift für Physik в сентябре 1925 года и заложила основу квантовой механики . Статья поступила в редакцию 25 июля 1925 года — этот день может считаться днём рождения современной квантовой теории .

Выздоравливая от сенной лихорадки на острове Гельголанд , Гейзенберг работал над статьёй, состоя в переписке по этому поводу с Вольфгангом Паули . Когда его спросили, что он думает о рукописи, Паули ответил положительно , но Гейзенберг сказал, что он всё ещё «очень не уверен в этом» . В июле 1925 года он отправил рукопись Максу Борну для рецензирования и принятия решения о её публикации .

В статье Гейзенберг попытался объяснить уровни энергии одномерного , избегая представлений о ненаблюдаемых электронных орбитах , используя наблюдаемые величины, такие как вероятности перехода для « », что потребовало использования двух индексов, соответствующих начальному и конечному состояниям .

Также в работе появился коммутатор Гейзенберга , его закон умножения, необходимый для описания определённых свойств атомов, посредством чего произведение двух физических величин не коммутирует . Следовательно, PQ будет отличаться от QP , где, например, P — это импульс электрона, а Q — его координата. Поль Дирак , получивший корректурный экземпляр статьи в августе 1925 года, понял, что закон коммутативности не имел законченного вида и создал алгебраическое выражение тех же результатов в более логической форме .

Содержание

Квантовая кинематика

Абстракт статьи формулирует главную цель статьи

В этой работе делается попытка получить основы квантовотеоретической механики, которые базируются исключительно на соотношениях между принципиально наблюдаемыми величинами.

В качестве «ненаблюдаемых» величин, которые использовались в старой квантовой теории: координаты и период обращения электрона. Соответственно наблюдаемыми были величины доступные в эксперименте: энергии боровских орбит ${\displaystyle W(n)}$ , и частоты переходов :

${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )={\frac {1}{\hbar }}\left[W(n)-W(n-\alpha )\right]\,,}$

( Ур. 1.1 )

где n — натуральное число, обозначающее первоначальный энергетический уровень, а новый уровень обозначается индексом n - α . Вместо обычной кинематики, то есть поиска траектории электрона x ( t ) , Гейзенберг предложил рассматривать вероятности перехода между стационарными боровскими орбитами. Траекторию для электрона (рассматривается одномерная задача) находящемся на уровне n с фундаментальной частотой ω ( n ) можно представить в виде ряда Фурье :

${\displaystyle x(n,t)=\sum _{-\infty }^{\infty }X_{\alpha }(n)\exp ^{i\omega (n)\alpha t}\,.}$

( Ур. 1.2 )

Мощность излучения α -гармоники можно взять из формулы Лармора для классического ускоренного электрона, который движется в параболическом потенциале

${\displaystyle -\left({\frac {dE}{dt}}\right)_{\alpha }={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}[\omega (n)\alpha ]^{4}|X_{\alpha }(n)|^{2}\,,}$

( Ур. 1.3 )

где e — заряд электрона, c — скорость света . Классическую формулу Гейзенберг переписывает, чтобы согласовать с квантовыми величинами ω ( n ) α заменяется выражением , для фурье-компоненты X _α ( n ) — X ( n , n - α ) . Правая часть заменяется произведением энергии и вероятности перехода

${\displaystyle P(n,n-\alpha )={\frac {e^{2}}{3\pi \varepsilon _{0}\hbar c^{3}}}[\omega (n,n-\alpha )]^{4}|X(n,n-\alpha )|^{2}\,,}$

( Ур. 1.4 )

Амплитуду перехода X ( n , n - α ) Гейзенберг также относит к наблюдаемой величине . Эта величина описывает только один переход, а для полной вероятности перехода нужно рассмотреть все величины ${\displaystyle X(n,n-\alpha )\exp[i\omega (n,n-\alpha )t]\,.}$ Дальше автор задаёт вопрос о представлении квадрата траектории частицы x ( t ) ² , что оказывается произведением двух рядов Фурье для классической частицы :

${\displaystyle [x(t)]^{2}=\sum _{\alpha }\sum _{\gamma }X_{\alpha }(n)X_{\gamma }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)(\alpha +\gamma )t}\,}$

( Ур. 1.5 )

и после замены переменных ${\displaystyle \beta =\alpha -\gamma }$

${\displaystyle [x(t)]^{2}=\sum _{\beta }Y_{\beta }(n)\mathrm {e} ^{i\omega (n)\beta t}\,,}$

( Ур. 1.6 )

где

${\displaystyle Y_{\beta }(n)=\sum _{\alpha }X_{\alpha }(n)X_{\beta -\alpha }(n)\,.}$

( Ур. 1.7 )

Квантовым аналогом будет выражение вида ${\displaystyle Y(n,n-\beta )\exp[i\omega (n,n-\beta )t]\,.}$ Комбинационный принцип Ритца используется для построения аналога :

${\displaystyle \omega (n,n-\alpha )+\omega (n-\alpha ,n-\beta )=\omega (n,n-\beta )\,.}$

( Ур. 1.8 )

из которого следует правило для умножения амплитут перехода

${\displaystyle Y(n,n-\beta )=\sum _{\alpha }X(n,n-\alpha )X(n-\alpha ,n-\beta )\,.}$

( Ур. 1.9 )

Гейзенберг замечает, что произведение [ x ( t )] ⁿ получается аналогично, но рассмотрение произведений двух величин x ( t ) y ( t ) встречается с трудностью, поскольку в квантовой теории, в отличие от классической, выражение может отличаться от y ( t ) x ( t ) , что он интерпретировал, как важную особенность квантовой кинематики .

Квантовая динамика

Гейзенберг установил наблюдаемые величины для новой квантовой теории: амплитуды перехода и частоты. Переходя к рассмотрению динамики на примере одномерного гармонического осциллятора, решение которого в старой квантовой теории заключалось в интегрировании уравнений движения

${\displaystyle {\ddot {x}}+f(x)=0\,}$

( Ур. 2.1 )

и получения квантовых условий для периодических движений

${\displaystyle \oint pdq=\oint m{\dot {x}}^{2}dt\equiv J\,(=nh)\,,}$

( Ур. 2.2 )

где h — постоянная Планка. Для классического осциллятора, подставляя разложение координаты в виде ряда Фурье в можно получить рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения. Используя ранее выведенные новые кинематические наблюдаемые величины можно получить аналогичные рекуррентные соотношения для определённого выражения f ( x ) , что рассмотрено . Для квантовых условий он использовал тот же классический ряд , который приводит к выражению

${\displaystyle \oint m{\dot {x}}^{2}dt=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }|X_{\alpha }(n)|^{2}\alpha ^{2}\omega (n)\,.}$

( Ур. 2.3 )

Приравнивая это выражение к nh и дифференцируя по h , Гейзенберг получает выражение

${\displaystyle h=2\pi m\sum _{\alpha =-\infty }^{\infty }\alpha {\frac {d}{dn}}(\alpha |X_{\alpha }(n)|^{2}\omega (n))\,,}$

( Ур. 2.4 )

в котором величины X _α ( n ) определены с точность до константы. Это выражение можно записать в новых наблюдаемых величинах после использования правила соответствия Бора

${\displaystyle h=4\pi m\sum _{\alpha =0}^{\infty }{|X(n+\alpha ,n)|^{2}\omega (n+\alpha ,n)-|X(n,n-\alpha )|^{2}\omega (n,n-\alpha )}\,,}$

( Ур. 2.5 )

которое представляет собой . Теперь Гейзенберг решает систему и для конкретного вида силы ${\displaystyle f(x)=\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}\,,}$ который представляет собой одномерный ангармонический осциллятор .

Решение для ангармонического осциллятора

Классическое уравнение движения для ангармонического осциллятора по предположению Гейзенберга также описывает и квантовую динамику

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x+\lambda x^{2}=0\,.}$

( Ур. 3.1 )

Это уравнение выражается в наблюдаемых величинах с использованием принимает вид

${\displaystyle [\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}(n,n-\alpha )]X(n,n-\alpha )+\lambda \sum _{\beta }X(n,n-\beta )X(n-\beta ,n-\alpha )=0\,.}$

( Ур. 3.2 )

Это выражение принимает рекуррентный вид для каждого значения α . Затем он строит теорию возмущений по малому параметру для ангармонического осциллятора, разлагая классическое решение в ряд :

${\displaystyle x(t)=\lambda a_{0}+a_{1}\cos \omega t+\lambda a_{2}\cos 2\omega t+\lambda ^{2}a_{3}\cos 3\omega t+\dots +\lambda ^{\alpha -1}a_{\alpha }\cos \alpha \omega t+\dots \,.}$

( Ур. 3.3 )

коэффициенты которого также разлагаются в ряды по малому параметру

${\displaystyle a_{0}=a_{0}^{(0)}+\lambda a_{0}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{0}^{(2)}+\dots \,,}$

( Ур. 3.4 )

${\displaystyle a_{1}=a_{1}^{(0)}+\lambda a_{1}^{(1)}+\lambda ^{2}a_{1}^{(2)}+\dots \,,}$

( Ур. 3.5 )

а также частоту

${\displaystyle \omega =\omega _{0}+\lambda \omega ^{(1)}+\lambda ^{2}\omega ^{(2)}+\dots \,.}$

( Ур. 3.6 )

Поставляя в получается система уравнений для коэффициентов разложения. Для нахождения этих коэффициентов в первом порядке теории возмущений необходимо ограничиться только членами при первой степени λ . Используя аналогичный метод для квантовых наблюдаемых Гейзенберг приходит к квантовым уравниям на коэффициенты разложения и строит решения для них. В первом порядке

${\displaystyle \omega ^{(0)}(n,n-\alpha )=\omega _{0}\,.}$

( Ур. 3.8 )

${\displaystyle a^{(0)}(n,n-\alpha )=A_{\alpha }{\frac {\beta ^{\alpha }}{\omega _{0}^{2(\alpha -1)}}}{\sqrt {\frac {n!}{(n-\alpha )!}}}\,.}$

( Ур. 3.8 )

где ${\displaystyle \beta ={\sqrt {h/\pi m\omega _{0}}}\,}$ и ${\displaystyle A_{\alpha }}$ — численный коэффициент зависящий от α . Для энергии осциллятора он находит выражение в классическом случае

${\displaystyle W=nh\omega _{0}/2\pi \,}$

( Ур. 3.9 )

и в квантовом случае

${\displaystyle W=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)h\omega _{0}/2\pi \,,}$

( Ур. 3.10 )

сравнивает результат вычислений во втором порядке теории возмущений по λ ² , который согласуется с предыдущими вычислениями по старой теории .

История

В первом письме к Паули 29 сентября 1922 года он рассматривает взаимодействие ангармонического классического осциллятора с излучением, но вводит затухание без объяснения его механизма . В письме к Р. Кронигу от 5 июня 1925 года Гейзенберг уже использует новую квантовую теорию для решения ангармонического осциллятора. Уже в этом письме он приводит эквивалент произведения классических гармоник

${\displaystyle b_{2}{\textrm {e}}^{2i\omega t}=(a_{1}{\textrm {e}}^{i\omega t})^{2}\,,}$

в квантовых наблюдаемых величинах

${\displaystyle b(n,n-2)=a_{1}(n,n-1)a_{1}(n-1,n-2)\,.}$

Это выражение эквивалентно произведению элементов матриц. Видимо Гейзенберг открыл его в июне .

В июне 1925 года Гейзенберг страдал сильным приступом сенной лихорадки, поэтому по совету врача переехал из Геттингена на остров Гельголанд , где отсутствовала цветущая растительность. Там его идеи о новой квантовой теории приняли завершённую форму . В письме 21 июня к Паули он записывает энергию квантового гармонического осциллятора, а в письме от 24 июня рассматривает ангармонический осциллятор более подробно, что позже появляется в его статье . 29 июня он удостоверился в правильность своего результата, а через десять дней закончил написание манускрипта и отослал статью Паули спросив его мнение .

Оценки

Ван дер Варден выделяет следующие главные результаты статьи Гейзенберга:

1. классическая механика теряет свою применимость для атомных масштабов;
2. классическая механика должны быть предельным случает квантовой теории для больших квантовых чисел, в согласии с принципом соответствия;
3. удачным методом связать квантовую и классическую теорию следует считать замену дифференциалов в классических выражениях на конечные разности в квантовом случае;
4. основную проблему с пониманием механики при атомных размерах Гейзенберг видел не в отклонении от классических законах, а в неприемлемости кинематического описания движения как такового ;
5. отказ от классической интерпретации координаты x в уравнении движения ;
6. использование переходных величин ( англ. transition quantities ) вместо потерявших значение координат ;
7. нахождение связи переходных величин с наблюдаемыми интенсивностями спектральных линий ;
8. формулировка квантовой механики исключительно в терминах наблюдаемых величин ;
9. формулировка правил умножения квантовых наблюдаемых, которые позже были интерпретированы в виде правил произведения матриц ;
10. формулировка правил квантования;
11. существование основного состояния квантовой системы .

Результат полученный Гейзенбергом для энергии гармонического осциллятора содержал энергию нулевых колебаний, которые обнаружил Р. Милликен за полгода до публикации его статьи . Непоследовательность теории Бора с воображаемыми классическими траекториями оказалась несогласованной с комбинационным принципом Ритца, как показал Гейзенберг . Статья заложила основу матричной механики , позже развитой М. Борном и Паскуалем Йорданом . Когда М. Борн прочитал статью, он понял, что формулировку Гейзенберга можно переписать на математически строгом языке матриц. М. Борн с помощью своего помощника и бывшего ученика П. Йордана немедленно переписал в новой форме, и они представили свои результаты для публикации. М. Борн сформулировал квантовые условия Гейзенберга в современной форме соотношения неопределённости ${\displaystyle {\textbf {pq}}-{\textbf {qp}}={\frac {h}{2\pi i}}{\textbf {1}}\,,}$ где 1 — единичная матрица . М. Борн назвал Гейзенберга «талантливым невеждой» из-за его незнания математического аппарата матриц, но способности открыть его заново . Их рукопись была получена для публикации всего через 60 дней после статьи Гейзенберга . Последующая статья всех трёх авторов, расширяющая матричную механику до нескольких измерений, была представлена к публикации до конца года .

Несмотря на основополагающий вклад в создание современной квантовой теории, статья Гейзенберга трудна для восприятия: например, С. Вайнберг говорил, что так и не смог понять мотивацию некоторых математических переходов автора . Э. Ферми также не смог разобраться с квантовой механикой основываясь на работе Гейзенберга и изучал её на основе теории Э. Шрёдингера . Н. Бор высоко оценил формализованную математически связь результатов Гейзенберга с принципом соответствия .

Примечания

Литература

• Razavy, Mohsen. Heisenberg's Quantum Mechanics. — World Scientific Publishing Company, 2011. — 680 с. — ISBN 9814304107 .
• : [ англ. ] / B. L. van der Waerden . — Dover Publications, 1968. — P. —306. — ISBN 0-486-61881-1 .
• Милантьев, Владимир Петрович. . — М. : Книжный дом « Либроком », 2009. — С. . — 248 с. — ISBN 978-5-397-00146-5 .
• Mehra, Jagdish. / Jagdish Mehra, Helmut Rechenberg. — Springer, 1982. — ISBN 0-387-90675-4 .

Ссылки

• Русский перевод: В. Гейзенберг. (рус.) // Успехи физических наук . — Российская академия наук , 1977. — Т. 122 , вып. 8 . — С. 574—586 .
• Беркович, Евгений. (рус.) . . Наука и жизнь (2019). Дата обращения: 8 февраля 2023.