Скобка Кауффмана
- 1 year ago
- 0
- 0
В физике , в скобка Мояля — это соответствующим образом нормированное антисимметризованное произведение Мояля в фазовом пространстве.
Скобка Мояля была введена в 1940 году Хосе Энрике Моялем, но ему удалось опубликовать свою работу только в 1949 году после долгих споров с Полем Дираком . . В то же время эта идея была независимо высказана в 1946 году Хипом Груневолдом в докторской диссертации .
Скобка Мояля — это способ построения коммутатора наблюдаемых величин в представлении фазового пространства квантовой механики , когда эти наблюдаемые описаны как функции в фазовом пространстве . Она опирается на распределения. Для определения функций на фазовом пространстве с квантовыми наблюдаемыми, наиболее известные из этих распределений задаются преобразованием Вигнера — Вейля . Скобка Мояля лежит в основе динамического уравнения Мояля , что эквивалентна формулировки квантовым уравнениям движения Гейзенберга , тем самым обеспечивая квантовое обобщение уравнения Гамильтона .
Математически, это деформации скобок Пуассона в фазовом пространстве (по сути их расширение), где в качестве параметра деформации выступает приведенная постоянная Планка ħ. Таким образом, её сокращение группы при ħ →0 задаёт алгебру Ли скобок Пуассона .
Вплоть до формальной эквивалентности, скобка Мояля — это уникальная однопараметрическая Ли-алгебраическая деформация скобки Пуассона. Его алгебраический изоморфизм с алгеброй коммутаторов обходит отрицательный результат , которая исключает такие изоморфизмы для скобки Пуассона. Этот вопрос косвенно поднимался Дираком в 1926 году в его докторской диссертации: «метод классической аналогии» для квантования .
Например, в двухмерном плоском фазовом пространстве , и для принципа соответствия Вейля, скобка Мояля определяется как,
где ★ — это оператор звёздочного произведения в фазовом пространстве (см. произведение Мояля ), f и g дифференцируемые функций в фазовом пространстве, а { f , g } их скобка Пуассона.
Более конкретно, это выражение равняется
|
Левая и правая стрелки над частными производными обозначают левую и правую производные . Иногда скобку Мояля называют синус скобкой .
Популярное (Фурье) интегральное представление для него, ввел Джордж Бейкер
Каждому отображению из фазового пространства в гильбертово пространство соответствует характеристическая скобка Мояля (здесь на примере отображения Вейля). Все такие скобки Мояля формально равноправны между собой, в соответствии с систематической теорией .
Скобка Мояля определяет одноименную бесконечномерную алгебру Ли — антисимметричную по своим аргументам f и g, и удовлетворяющую тождеству Якоби . Соответствующая абстрактная алгебра реализована T f ≡ f ★ , так что
На 2-торе фазового пространства, T 2 , то есть с периодическими координатами x и p, каждая задана в полосе [0,2 π ] , и целоечисленными индексами мод m i для базисных функций exp( i ( m 1 x + m 2 p )) , эта алгебра Ли задаётся,
которое редуцируется до SU(N) для целочисленных N ≡ 4 π/ħ . SU(N) возникает как деформация SU (∞), с параметром деформации 1/ N .
Обобщение скобки Мояля для квантовых систем со связями второго класса предполагает проведение операции на классах эквивалентности функций в фазовом пространстве, , которые могут рассматриваться как квантовые деформации .
Рядом с синус скобкой, Груневолд дополнительно ввёл косинус скобку, определяемую по Бейкеру,
Здесь, опять же, ★ — звёздочное произведение в фазовом пространстве, f и g дифференцируеме функции в фазовом пространстве, а f g — обычное произведение.
Синус и косинус скобки, соответственно, антисимметризованное и симметризованное звёздочное произведения. Таким образом, как синус скобка — отображение Вигнера коммутатора, косинус скобка образ преобразования Вигнера антикоммутатора в стандартной квантовой механике. Точно так же, как скобка Мояля равна скобке Пуассона с точностью до более высоких степеней ħ, косинус скобка равна обычному произведению с точностью до более высоких степеней ħ. В классическом пределе, скобка Мояля упрощается до уравнения Лиувилля (сформулированого в терминах скобки Пуассона) , а косинус скобка сводится к классическому уравнению Гамильтона — Якоби .
Синус и косинус скобки также приводят к уравнениям чисто алгебраического описания квантовой механики .