Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.

Свойства

• (Считаем далее, речь идёт о кольцах с единицей .) Множество всех идеалов кольца индуктивно упорядочено по отношению включения, поэтому ( Лемма Цорна ) во всяком кольце максимальные идеалы существуют, более того, для всякого собственного идеала I кольца R существует максимальный идеал кольца R , который его содержит.

• Если элемент a кольца R не обратим , тогда все элементы кольца, кратные ему, образуют собственный идеал. Поэтому каждый необратимый элемент кольца содержится в некотором максимальном идеале. Если элемент a обратим, всякий идеал, который его содержит, совпадает со всем кольцом, поэтому обратимые элементы не содержатся ни в каком собственном идеале, соответственно и ни в каком максимальном.

• Если все необратимые элементы кольца R образуют идеал, он является максимальным, и притом единственным - других максимальных идеалов в кольце R нет. (Верно и обратное: если в кольце R максимальный идеал единствен, он включает в себя все необратимые элементы кольца.) В этом случае кольцо R называется локальным кольцом .

• Характеристическое свойство максимального идеала: идеал ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$ максимален тогда и только тогда, когда факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ является полем (в нём каждый ненулевой элемент обратим).

• Если кольцо R имеет структуру банаховой алгебры над полем комплексных чисел С , факторкольцо по максимальному идеалу R/I изоморфно C . В этом случае идеал I определяет гомоморфизм кольца R в поле C , ядром которого является идеал I .
  Для каждого a существует единственное число ${\displaystyle \lambda _{a}}$ , такое что ${\displaystyle a-\lambda _{a}e\in I}$ ( e - единица алгебры R ). Соответствие ${\displaystyle a\to \lambda _{a}}$ и есть тот самый гомоморфизм.

• Из характеристического свойства следует, что всякий максимальный идеал является простым .

Примеры

• В кольце целых чисел Z максимальными идеалами являются все простые идеалы : если p - простое число, тогда идеал ( p )= p Z максимален. Например, чётные числа образуют максимальный идеал, а числа, кратные 4 - образуют идеал, но не максимальный - этот идеал содержится в идеале чётных чисел.
• В кольце многочленов k[X,Y] , где k - алгебраически замкнутое поле , максимальные идеалы имеют вид ${\displaystyle I_{a,b}=\{f\in k[X,Y]:f(a,b)=0\},\quad a,b\in k}$ .
• Кольцо степенных рядов ${\displaystyle k[[X]]}$ над полем k - локальное кольцо . Необратимые элементы - те, которые не содержат свободного члена. Они образуют идеал. Он - единственный максимальный идеал в этом кольце.