Отношение инцидентности — это бинарное отношение между двумя различными типами объектов. Это включает понятия, которые можно выразить такими фразами как «точка лежит на прямой» или «прямая принадлежит плоскости». Наиболее существенное отношение инцидентности — между точкой P и прямой l , которое записывается как P I l . Если P I l , пара ( P , l ) называется флагом . В разговорном языке существует много выражений, описывающих отношение инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит на плоскости, и т. д.), однако термин «инцидентна» предпочтительнее, поскольку не предполагает дополнительных cопутствующих понятий и может быть использован симметрично , отражая свойство симметричности отношения. Утверждения, такие как «прямая l ₁ пересекает прямую l ₂ », также являются утверждениями об отношении инцидентности, но в этом случае проще сказать: «существует точка P , инцидентная обоим прямым l ₁ и l ₂ ». Когда один тип объектов можно рассматривать как множество объектов другого типа ( а именно , плоскость является множеством точек), отношение инцидентности можно рассматривать как включение.

Утверждения вида «любые две прямые на плоскости пересекаются» называются утверждениями инцидентности . Такие утверждения верны в проективных плоскостях , но не верны на евклидовых , где прямые могут быть параллельны . Исторически, проективная геометрия была предложена для того, чтобы утверждение инцидентности было верно без исключений. С точки зрения синтетической геометрии проективную геометрию следует создавать, используя такие утверждения в качестве аксиом . Наиболее существенен такой подход для проективных плоскостей ввиду верности теоремы Дезарга для более высоких размерностей.

Аналитический подход, напротив, определяет проективное пространство на основе линейной алгебры с использованием однородной системы координат . Отношение инцидентности выводится из следующего базового результата для векторных пространств : если даны подпространства U и W векторного пространства V (конечной размерности), размерность их пересечения равна dim U + dim W − dim ( U + W ) . Если принять во внимание, что геометрическая размерность проективного пространства P ( V ) , ассоциированного с V , равна dim V − 1 , и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, базовое утверждение инцидентности в этих условиях примет вид: линейные подпространства L и M проективного пространства P пересекаются при условии, что dim L + dim M ≥ dim P

Последующие разделы относятся к проективным плоскостям , определённым над полями . Такие плоскости часто обозначаются как PG(2, F ) или P ² F , где F — поле. Однако эти рассуждения можно естественным образом распространить на пространства более высоких размерностей, а поле может быть заменено на тело с учётом, что в этом случае умножение не будет коммутативным .

PG(2, F )

Пусть V — трёхмерное векторное пространство, определённое над полем F . Проективная плоскость P ( V ) = PG(2, F ) состоит из одномерных векторных подпространств пространства V , которые называются точками , и двумерных векторных подпространств V , которые называются прямыми . В определении предполагается, что все рассматриваемые подпространства содержат одну выделенную точку. Инцидентность точки и прямой определяется принадлежностью одномерного подпространства двумерному.

Если зафиксировать базис V , то мы можем описать вектора как координатные тройки (по отношению к базису). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех векторов, полученных из него умножением на (ненулевой) скаляр. Все такие вектора, записанные в виде координатных троек, соответствуют координатам данной точки в однородной системе координат. По отношению к зафиксированному базису пространство решений линейного уравнения {( x , y , z ) | ax + by + cz = 0 } является двумерным подпространством пространства V , а потому является прямой в P ( V ) . Эту прямую можно обозначить координатами прямой [ a , b , c ] , которые также являются однородными координатами, поскольку умножение на ненулевой скаляр даёт ту же самую прямую. Другие обозначения также широко используются. Координаты точки можно записать как вектор-столбцы ( x , y , z ) ^T , с двоеточиями ( x : y : z ) или с индексом ( x , y , z ) _P . Соответственно, координаты прямой могут быть записаны как вектор-строки ( a , b , c ) , с двоеточиями [ a : b : c ] или с индексом ( a , b , c ) _L . Возможны и другие варианты обозначений.

Алгебраическое выражение инцидентности

Если дана точка P = ( x , y , z ) и прямая l = [ a , b , c ] , записанные в терминах координат точки и прямой, точка инцидентна прямой (часто записывается как P I l ), тогда и только тогда, когда

ax + by + cz = 0 .

В других обозначения это можно выразить как:

${\displaystyle ax+by+cz=[a,b,c]\cdot (x,y,z)=(a,b,c)_{L}\cdot (x,y,z)_{P}=}$

${\displaystyle =[a:b:c]\cdot (x:y:z)=(a,b,c)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}$

Вне зависимости от обозначений, когда однородные координаты точки и прямой рассматриваются как две упорядоченные тройки, инцидентность прямой и точки выражается как равенство их скалярного произведения нулю.

Инцидентность прямой паре различных точек

Пусть дана пара различных точек P ₁ и P ₂ с однородными координатами ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) соответственно. Эти точки определяют единственную прямую l с уравнением вида ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ , которая должна удовлетворять уравнениям:

${\displaystyle ax_{1}+by_{1}+cz_{1}=0}$

${\displaystyle ax_{2}+by_{2}+cz_{2}=0}$ .

В матричном виде эту систему можно переписать как

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a\\b\\c\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

Эта система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель равен нулю

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x&y&z\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{matrix}}\right|=0.}$

Раскрытие этого уравнения для определителя даёт однородные линейные уравнения, которые должны быть уравнением прямой l . Таким образом, с точностью до ненулевого постоянного множителя имеем ${\displaystyle l=[a,b,c]}$ , где

${\displaystyle a=y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}}$

${\displaystyle b=x_{2}z_{1}-x_{1}z_{2}}$

${\displaystyle c=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}$ .

В терминах смешанного произведения векторов уравнение для прямой можно переписать как

${\displaystyle P\cdot P_{1}\times P_{2}=0}$ ,

где ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ — точка.

Коллинеарность

Точки, инцидентные одной прямой, называются коллинеарными . Множество всех точек, инцидентных одной прямой, называется .

Если P ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), P ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) и P ₃ = ( x ₃ , y ₃ , z ₃ ) , то эти точки коллинеарны тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|=0,}$

то есть тогда и только тогда, когда определитель однородных координат равен нулю.

Пересечение пар прямых

Пусть дана пара различных прямых ${\displaystyle l_{1}=[a_{1},b_{1},c_{1}]}$ и ${\displaystyle l_{2}=[a_{2},b_{2},c_{2}]}$ . Тогда пересечением прямых ${\displaystyle l_{1}}$ и ${\displaystyle l_{2}}$ будет точка ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ , которая является одновременным решением (с точностью до постоянного множителя) системы линейных уравнений

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=0}$ и

${\displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=0}$ .

Решение этих уравнений даёт

${\displaystyle x_{0}=b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}}$ ,

${\displaystyle y_{0}=a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2}}$ и

${\displaystyle z_{0}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}$ .

Альтернативно, рассмотрим другую прямую ${\displaystyle l=[a,b,c]}$ , проходящую через точку P , то есть однородные координаты точки P удовлетворяют уравнению

${\displaystyle ax+by+cz=0}$ .

Комбинируя это уравнение с уравнениями, определяющими точку P , мы можем видеть нетривиальное решение матричного уравнения

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}}\right).}$

Такое решение возможно, лишь когда

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b&c\\a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\end{matrix}}\right|=0.}$

Коэффициенты a , b и c в уравнении дают однородные координаты точки P .

Уравнение общего вида для прямой, проходящей через точку P , в обозначениях смешанного произведения выглядит как

${\displaystyle l\cdot l_{1}\times l_{2}=0}$ .

Пересечение

Множество всех прямых на плоскости, инцидентных одной и той же точке, называется пучком прямых , центрированным в этой точке. Вычисление пересечения двух прямых показывает, что весь пучок определяется двумя прямыми, пересекающимися в данной точке. Отсюда немедленно следует, что алгебраическим условием пересечения трёх прямых ${\displaystyle [a_{1},b_{1},c_{1}],[a_{2},b_{2},c_{2}],[a_{3},b_{3},c_{3}]}$ в одной точке является равенство нулю определителя

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{matrix}}\right|=0.}$

См. также

• Теорема Менелая
• Теорема Чевы
• Конциклические точки
• Матрица инцидентности
• Структура инцидентности
• Геометрия инцидентности
• Граф Леви
• Аксиоматика Гильберта

Примечания

Литература