Interested Article - Элементарные функции
- 2021-10-07
- 1
Элемента́рные фу́нкции — функции , которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций :
- степенная функция с любым действительным показателем;
- показательная и логарифмическая функции;
- тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции , хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Элементарные функции по Лиувиллю
Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной — аналитическая функция , которая может быть представлена как алгебраическая функция причём:
- является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции
- является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции
...
- является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции
Например, — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции
Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица
Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:
- где
Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимыми. Это означает, что алгебраическое соотношение может выполняться для всех , только если коэффициенты полинома равны нулю.
Дифференцирование элементарных функций
Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции
где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных .
Интегрирование элементарных функций
Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов . В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша , основанном на теореме Лиувилля:
Теорема Лиувилля . Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде
где — некоторые комплексные числа, а — алгебраические функции своих аргументов.
Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от берётся в элементарных функциях, то верно
где — алгебраическая функция, — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида
где — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то
откуда
Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.
Интегрирование функций вида
Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл
где — полиномы, берётся в элементарных функциях, то
- ,
где — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению
Пример . В частности, интеграл
не берётся, поскольку подстановка
в уравнение
даёт . Интеграл же
берётся, поскольку
имеет решение . При этом, конечно,
Доказательство следствия . В силу теоремы Лиувилля
Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе верно
Дифференцируя по и полагая , видим, что интеграл выражается алгебраически через , то есть
Опять применяя принцип Лиувилля, имеем
Дифференцируя по и полагая , имеем
при , а следовательно, в силу алгебраической независимости , при всех . Поэтому
где — некоторая алгебраическая функция . Таким образом,
Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией , то — полином. Следствие доказано.
Интегрирование алгебраических функций
Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов , которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса , Пташицкого и Риша .
Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple .
- См. также: Список интегралов элементарных функций
Вычисление пределов
Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов . Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .
См. также
Примечания
- , с. 113—114..
- Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
- Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., «Мир», 1985
- . Дата обращения: 16 июня 2007. 4 июня 2008 года.
Литература
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
- Хованский А. Г. . Гл. 1. M, 2007
- Liouville J. (недоступная ссылка) // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
- 2021-10-07
- 1