Interested Article - Элементарные функции

Элемента́рные фу́нкции функции , которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций :

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции , хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция переменной аналитическая функция , которая может быть представлена как алгебраическая функция причём:

  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции
  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции

...

  • является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции

Например, — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции

Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица

Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

где

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимыми. Это означает, что алгебраическое соотношение может выполняться для всех , только если коэффициенты полинома равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где равно или или в зависимости от того, логарифм ли или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных .

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов . В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша , основанном на теореме Лиувилля:

Теорема Лиувилля . Если интеграл от элементарной функции сам является элементарной функцией, то он представим в виде

где — некоторые комплексные числа, а алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от берётся в элементарных функциях, то верно

где — алгебраическая функция, — логарифм или экспонента алгебраической функции и т. д. Функции являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

где — алгебраические функции своих аргументов. Если — семейство решений этой системы, то

откуда

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

где — полиномы, берётся в элементарных функциях, то

,

где — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

Пример . В частности, интеграл

не берётся, поскольку подстановка

в уравнение

даёт . Интеграл же

берётся, поскольку

имеет решение . При этом, конечно,

Доказательство следствия . В силу теоремы Лиувилля

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе верно

Дифференцируя по и полагая , видим, что интеграл выражается алгебраически через , то есть

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

Дифференцируя по и полагая , имеем

при , а следовательно, в силу алгебраической независимости , при всех . Поэтому

где — некоторая алгебраическая функция . Таким образом,

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией , то — полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов , которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса , Пташицкого и Риша .

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple .

См. также: Список интегралов элементарных функций

Вычисление пределов

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов . Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность .

См. также

Примечания

  1. , с. 113—114..
  2. Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. Art. 2 B 2 (W. Wirtinger, 1901 г.)
  3. Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. Гл. 4. М., «Мир», 1985
  4. . Дата обращения: 16 июня 2007. 4 июня 2008 года.

Литература

  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
  • Хованский А. Г. . Гл. 1. M, 2007
  • Liouville J. (недоступная ссылка) // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)
Источник —

Same as Элементарные функции