Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо , содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество ${\displaystyle R}$ , на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения ${\displaystyle R}$ образует коммутативную конечную группу , а умножение связано со сложением обычными распределительными законами . Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля .

Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей .

Примеры конечных колец

• Самым простым примером является тривиальное кольцо , состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо . Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей . Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.

• Классическим примером конечного кольца является ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю ${\displaystyle n}$ . Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число ${\displaystyle n}$ простое . Если же число ${\displaystyle n}$ составное, то в кольце ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ существуют делители нуля . Например множество ${\displaystyle \{0;\ 2;\ 4;\ 6\}}$ с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: ${\displaystyle 2\cdot 4=4\cdot 6=0.}$ Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп , их также можно использовать для построения p -адических чисел . Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю ${\displaystyle n}$ , уже не коммутативно.

• Кольцо подмножеств конечного множества ${\displaystyle X}$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в ${\displaystyle X}$ . В качестве операции сложения выступает симметрическая разность , а в роли умножения выступает пересечение множеств :

${\displaystyle A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

${\displaystyle A\cdot B=A\cap B}$

Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество , единичным — всё ${\displaystyle X}$ . Все элементы кольца являются идемпотентами , то есть ${\displaystyle A\cdot A=A}$ . Любой элемент является своим обратным по сложению: ${\displaystyle A+A=0.}$ Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры , в частности, для построения теории вероятностей .

• Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.

Некоторые свойства

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим , либо является делителем нуля . В самом деле, пусть ${\displaystyle a}$ — ненулевой элемент кольца порядка ${\displaystyle n}$ ; составим произведения ${\displaystyle a}$ на все ненулевые элементы кольца: ${\displaystyle aa_{1}\dots aa_{n-1}}$ . Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: ${\displaystyle aa_{i}=aa_{k},}$ или ${\displaystyle a(a_{i}-a_{k})=0.}$ В обоих случаях ${\displaystyle a}$ — делитель нуля, ч. т. д.

Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).

Кольцо ${\displaystyle R}$ с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов ${\displaystyle R}$ равны нулю) называется простым , если в нём нет двусторонних идеалов , кроме тривиального подкольца и самого ${\displaystyle R}$ . Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо ${\displaystyle R}$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.

Теоремы Веддербёрна

Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению) .

Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента ${\displaystyle a}$ из кольца ${\displaystyle R}$ существует такое целое ${\displaystyle n>1}$ , что ${\displaystyle a^{n}=a}$ , то кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно . Обнаружены и другие признаки коммутативности колец .

Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть ${\displaystyle R}$ — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо ${\displaystyle R}$ изоморфно кольцу всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над некоторым телом . При этом ${\displaystyle n}$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела ${\displaystyle D}$ кольцо ${\displaystyle \mathrm {Mat} (D,n)}$ является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем .

Примечания

Литература

• Атья М. , Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972. — 160 с.
• Бельский А., Садовский Л. // Квант . — 1974. — № 2 .
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Мир, 1975. — 623 с.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — M.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М. : Издательство иностранной литературы, 1961.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М. : Мир, 1972. — 190 с.