Interested Article - Чётность нуля

Иллюстрация чётности нуля: 0 объектов поровну разделили между чашами весов, и они находятся в равновесии

Чётность нуля — общепринятый математический факт, который, однако, иногда вызывает сомнения у людей, недостаточно знакомых с математикой.

То, что ноль чётное число , сразу следует из определения чётного числа. По определению, чётное число — целое число , которое делится на 2 без остатка. Ноль полностью удовлетворяет этому определению. Он также обладает всеми свойствами чётных чисел — например, он с обеих сторон граничит с нечётными числами.

Ноль также подчиняется всем закономерностям, характерным для других чётных чисел. Правила арифметики, такие как: «разность чётных чисел чётна», предполагают, что 0 тоже должен быть чётным числом:

Тем не менее части людей принять чётность нуля труднее, чем чётность другого натурального числа вроде 2, 4, 6 или 8. Либо они вовсе не могут этого сделать, либо ошибочно видят в нуле нечётное (или имеющее двойственную чётность) число.

Почему ноль является чётным

Чтобы доказать, что ноль является чётным, можно непосредственно использовать стандартное определение «чётного числа». Число называют чётным, если это число кратно 2. Например, причиной того, что число 10 является чётным, является то, что оно равно 5 × 2 . В то же время, ноль также является целым кратным 2, то есть 0 × 2 , следовательно, ноль является чётным .

Кроме того, можно объяснить, почему ноль является чётным, не применяя формальных определений.

Простые объяснения

Слева изображены группы с 0, 2 и 4 белыми объектами по парам; справа с 1, 3 и 5 объектами, где объект без пары обозначен красным. Область с 0 объектами не содержит красных объектов .

Ноль — это число , а числа используются для счёта. Если существует множество объектов, то числа используют, чтобы описать, сколько их. Ноль — это мера в случае, когда нет ни одного объекта ; в более формальном смысле, это количество объектов в пустом множестве . Используя понятие чётности, создадим группы по паре объектов. Если объекты множества можно разделить и маркировать по парам без остатка, тогда количество объектов чётное. Если существует объект, не вошедший в группы, тогда количество объектов является нечётным. Пустое множество содержит 0 пар объектов и не имеет никакого остатка от такой группировки, поэтому ноль является чётным .

Все эти доводы можно проиллюстрировать, нарисовав объекты по парам. Трудно изобразить нулевые пары или показать отсутствие нечётного остатка, поэтому удобным будет нарисовать другие группы и сравнить их с нулём. Например, в группе из пяти объектов существуют две пары. Кроме того, в ней есть объект, который не относится ни к одной паре — поэтому число 5 является нечётным. В группе из четырёх объектов нет объектов, которые остались, только две пары, поэтому 4 является чётным. В группе только с одним объектом нет пар и есть один остаток, поэтому 1 является нечётным. В группе с нулём объектов нет пар и нет остатка, поэтому 0 является чётным .

Числа можно изобразить с помощью точек на числовой оси . Если на ней нанести чётные и нечётные числа, их общая закономерность становится очевидной, особенно если добавить и отрицательные числа:

Чётные и нечётные числа чередуются между собой. Нет причины пропустить число ноль .

С помощью операции умножения чётность можно определить более формальным образом, используя арифметические выражения. Для каждого целого числа будет актуальна одна из форм: (2 × N) + 0 или (2 × N) + 1 . Первое выражение соответствует чётным числам, а второе нечётным. Например, 1 является нечётным, поскольку 1 = (2 × 0) + 1 , а 0 будет чётным, так как 0 = (2 × 0) + 0 . Если такие выражения записать в таблицу по порядку, снова получим закономерность как на числовой оси .

Со стороны математики

Чётные (синие) — подмножество Z
Многоугольники с числами

Численные результаты теории обращаются к основной теореме арифметики и алгебраическим свойствам чётных чисел, поэтому вышеупомянутое соглашение имеет далеко идущие последствия. Например, факт, что положительные числа имеют уникальную факторизацию , означает, что для отдельного числа можно определить, имеет ли оно чётное или нечётное количество различных простых множителей. Поскольку 1 не является простым числом, а также не имеет простых множителей, оно является пустым произведением простых чисел; поскольку 0 — чётное число, 1 имеет чётное количество простых множителей. Из этого следует, что функция Мёбиуса принимает значение μ (1) = 1, что необходимо, чтобы она была мультипликативной функцией и работала формула вращения Мёбиуса .

Ноль является нейтральным элементом по сложению группы чётных чисел, а также базой для рекурсивного определения других чётных натуральных чисел . Применение такой рекурсии по теории графов к вычислительной геометрии полагается на его чётность [ прояснить ] . Ноль делится не только на 2 — на все её степени. В этом смысле он — «самое чётное» число.

В образовании

Результат опроса школьников 1-6 классов в Великобритании

Вопрос, является ли ноль чётным числом, поднимался в системе школьного образования Великобритании. Проводились многочисленные опросы мнения школьников по данному вопросу. Выяснилось, что ученики по-разному оценивают чётность нуля: некоторые считают его чётным, некоторые — нечётным, иные полагают, что он является особым числом — и тем и другим одновременно или ни тем ни другим. Причём ученики пятых классов дают правильный ответ чаще, чем ученики шестых классов .

Как показали исследования, даже преподаватели в школах и вузах недостаточно осведомлены о чётности нуля. Так, например, порядка 2/3 преподавателей Университета Южной Флориды ответили «нет» на вопрос «Является ли ноль чётным числом?» .

Примечания

  1. , p. 34 Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd . Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier , to state the proof: «To see that 0 is even, we must prove that k (0 = 2 k ) and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0
  2. Compare , p. 535 Fig. 1
  3. , pp. 535—536 «… numbers answer the question How many ? for the set of objects … zero is the number property of the empty set … If the elements of each set are marked off in groups of two … then the number of that set is an even number.»
  4. , pp. 535—536 «Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number.»
  5. , p. 191
  6. , p. 537; compare her Fig. 3. «If the even numbers are identified in some special way … there is no reason at all to omit zero from the pattern.»
  7. , pp. 537—538 «At a more advanced level … numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers … zero fits nicely into this pattern.»
  8. , pp. 30–33
  9. , pp. 376–377
  10. , p. 41
  11. , pp. 83–95
  12. See data throughout , and summary by , p. 837.

Литература

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics , London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow; Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields , London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language , Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (January 1919), , The Ohio Educational Monthly , 68 (1): 21—22 , Дата обращения: 11 апреля 2010
  • Arsham, Hossein (January 2002), , The Pantaneto Forum , Архивировано из 25 сентября 2007 , Дата обращения: 24 сентября 2007 от 25 сентября 2007 на Wayback Machine
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C.; Bass, Hyman (2005), (PDF) , American Educator , Дата обращения: 16 сентября 2007
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer; Thames, Mark Hoover (2008), (PDF) , Journal for Research in Mathematics Education , M14 : 13–44 and 195–200 , Дата обращения: 4 марта 2010
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials , Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur; Coslick, Ronald (1998), Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 , Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E.; Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (5th rev. ed.), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways , Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes , Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (27 December 2012), , Journal of Integer Sequences , 15 (9), arXiv :
  • Column 8 readers (10 March 2006a), "Column 8", The Sydney Morning Herald (First ed.), p. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049 {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) ( ссылка )
  • Column 8 readers (16 March 2006b), "Column 8", The Sydney Morning Herald (First ed.), p. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (числовые имена: authors list) ( ссылка )
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count , Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy (Centennial ed.), Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge; Giraux, Pascal (1993), (PDF) , Journal of Experimental Psychology: General , 122 (3): 371—396, doi : , Дата обращения: 13 сентября 2007 от 19 июля 2011 на Wayback Machine
  • Devlin, Keith (April 1985), "The golden age of mathematics", New Scientist , 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games , Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S; Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso (ed.), (PDF) , Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education , 2 : 187—195
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra (2e ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), (PDF) , Educational Testing Service , Дата обращения: 6 сентября 2011
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures , Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (ed.), Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers , London: Cassell, pp. 31—48 {{ citation }} : Неизвестный параметр |book-title= игнорируется ( справка )
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p -adic numbers: an introduction (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (September 2005), The Official Guide for GMAT Review (11th ed.), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse , Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction , Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y.; Lewis, Jennifer M.; Phelps, Geoffrey C.; Sleep, Laurie; Ball, Deborah Loewenberg (2008), "Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study", Cognition and Instruction , 26 (4): 430—511, doi :
  • Hohmann, George (25 October 2007), "Companies let market determine new name", Charleston Daily Mail , p. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition , Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers , IAP, ISBN 1-59311-495-8 {{ citation }} : Неизвестный параметр |book-title= игнорируется ( справка )
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry , CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), "Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero", The Journal of Mathematical Behavior , 26 (2): 83—95, doi :
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), "Zero is an even number", The Arithmetic Teacher , 19 (7): 535—538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms , Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William; Pfenning, Frank (22 January 2008), , Electronic Notes in Theoretical Computer Science , 196 : 113—128, doi : , Дата обращения: 16 июня 2012
  • Lovász, László ; Pelikán, József; Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond , Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 April 2001), , Frank Morgan's Math Chat , The Mathematical Association of America , Дата обращения: 22 августа 2009
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C.; Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic , Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke; Willmes, Klaus (July 2004), "Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect", The Quarterly Journal of Experimental Psychology A , 57 (5): 835—863, doi :
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics , Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6
  • Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures , River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0
  • Salzmann, H.; Grundhöfer, T.; Hähl, H.; Löwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers , Cambridge University Press, ISBN 0-521-86516-6
  • Siegel, Robert (19 November 1999), , , National Public Radio
  • Smock, Doug (6 February 2006), "The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods", , p. P1B, Factiva CGAZ000020060207e226000bh
  • Snow, Tony (23 February 2001), , , Дата обращения: 22 августа 2009
  • Sones, Bill; Sones, Rich (8 May 2002), , Deseret News , p. C07 , Дата обращения: 21 июня 2014
  • Starr, Ross M. (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction , Cambridge University Press, ISBN 0-521-56473-5
  • Steinberg, Neil (30 November 1999), "Even year, odd facts", Chicago Sun-Times (5XS ed.), p. 50, Factiva chi0000020010826dvbu0119h
  • Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT , Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0
  • Stingl, Jim (5 April 2006), , (Final ed.), p. B1, из оригинала 27 апреля 2006 , Дата обращения: 21 июня 2014 от 27 апреля 2006 на Wayback Machine
  • Tabachnikova, Olga M.; Smith, Geoff C. (2000), Topics in Group Theory , London: Springer, ISBN 1-85233-235-2
  • The Math Forum participants (2000), , Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica , Drexel University , Дата обращения: 25 сентября 2007
  • Turner, Julian (13 July 1996), "Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific", The Guardian , p. 23, Factiva grdn000020011017ds7d00bzg
  • Wilden, Anthony; Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication , Routledge Kegan & Paul, ISBN 0-7100-9868-5
  • Wise, Stephen (2002), GIS Basics , CRC Press, ISBN 0-415-24651-2
  • Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering , World Scientific, ISBN 981-02-3043-5
Источник —

Same as Чётность нуля