Interested Article - Трубчатая окрестность

Синим цветом нарисована кривая, зеленым — линии, ей перпендикулярные, красным — её трубчатая окрестность.

Трубчатая окрестность подмногообразия в многообразии — это открытое множество , окружающее подмногообразие и локально устроенное подобно нормальному расслоению .

Мотивация

В обозначениях статьи, синяя кривая — это подмногообразие S , красным обозначена её трубчатая окрестность T = j ( N ).

Поясним понятие трубчатой окрестности на простом примере. Рассмотрим на плоскости гладкую кривую без самопересечений. В каждой точке кривой построим линию перпендикулярную к этой кривой. Если кривая не является прямой , эти перпендикуляры могут пересекаться друг с другом весьма сложным образом. Тем не менее, если рассматривать очень узкую ленточку вокруг кривой, кусочки перпендикуляров, лежащих в ленточке, не пересекутся и покроют всю её без лакун. Такая ленточка и является трубчатой окрестностью кривой.

В общем случае рассмотрим подмногообразие многообразия M и N нормальное расслоение к подмногообразию S в M . В этом случае S играет роль кривой, а M — роль плоскости, содержащей эту кривую. Рассмотрим естественное отображение

,

которое устанавливает взаимно-однозначное соответствие между нулевым сечением расслоения N и подмногообразием S из M . Пусть j продолжение этого отображения на все нормальное расслоение N со значениями в многообразии M , причём j ( N ) является открытым множеством в M , а j гомеоморфизмом между N и j ( N ). Тогда j называется трубчатой окрестностью.

Часто трубчатой окрестностью подмногообразия S называют не само отображение j , а его образ T = j ( N ), подразумевая тем самым существование гомеоморфизма j между множествами N и T .

Свойства

  • Для замкнутого гладкого подмногообразия риманого многообразия, множество точек на расстоянии от образует трубчатую окрестность при всех достаточно малых положительных значениях .

См. также

Литература

  • М. Хирш Дифференциальная топология. — М: Мир, 1979.
Источник —

Same as Трубчатая окрестность