Инъе́кция ( инъекти́вное отображе́ние ) в математике — отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle Y}$ ( ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ), при котором разные элементы множества ${\displaystyle X}$ переводятся в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$ , то есть если два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают: ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}$ .

Инъекцию также называют вложением , или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции , которая взаимно однозначна ). В отличие от сюръекции , про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ аналогичная фраза формулируется как отображение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ .

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное , то есть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ инъективно, если существует ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ , при котором композиция ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ .

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией ) введено в трудах Бурбаки и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x}$ ( натуральный логарифм ) — инъективно и сюръективно (здесь ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ — множество положительных чисел ).
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$ — инъективно (здесь ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ — множество неотрицательных чисел ).
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}$ — не является инъективным, так как ${\displaystyle f(-2)=f(2)=4}$ .

Применение

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных .
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие мономорфизма . Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

• Н. К. Верещагин , А. Шень . Начала теории множеств // . (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб. : Лань, 2004. — 336 с.