Interested Article - Треугольник Шварца

Треугольник Шварца — сферический треугольник , который можно использовать для создания мозаики на сфере , возможно с наложением, путём отражений треугольника относительно сторон. Треугольники классифицированы в работе немецкого математика Карла Шварца 1873 года .

Треугольники Шварца можно определить в более общем виде как мозаики на сфере, евклидовой или гиперболической плоскости. Каждый треугольник Шварца на сфере определяет конечную группу , в то время как на евклидовой плоскости они определяют бесконечные группы.

Треугольник Шварца представляется тремя рациональными числами ( p q r ), каждое из которых задаёт угол в вершине. Значение n/d означает, что угол в вершине треугольника равен d / n развёрнутого угла. 2 означает прямоугольный треугольник. Если эти числа целые, треугольник называется треугольником Мёбиуса и он соответствует мозаике без перекрытий, а группа симметрии называется группой треугольника . На сфере имеется 3 треугольника Мёбиуса и ещё одно однопараметрическое семейство. На плоскости имеется три треугольника Мёбиуса, а в гиперболическом пространстве имеется семейство треугольников Мёбиуса с тремя параметрами и нет .

Пространство решений

Фундаментальная область в виде треугольника ( p q r ) может существовать в различных пространствах в зависимости от суммы обратных величин этих целых:

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}>1

Сфера

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}=1

Евклидова плоскость

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1

Гиперболическая плоскость

Проще говоря, сумма углов треугольника в евклидовой плоскости равна π, в то время как на сфере сумма углов больше π, а на гиперболической плоскости сумма меньше π.

Графическое представление

Треугольник Шварца представляется графически как треугольный граф . Каждая вершина соответствует стороне (зеркалу) треугольника Шварца. Каждое ребро помечено рациональным значением, соответствующим порядку отражения, которое равно π/ внешний угол .

Schwarz triangle ( p q r ) on sphere	Schwarz triangle graph

Рёбра с порядком 2 представляют перпендикулярные зеркала, которые в этой диаграмме можно опускать. Диаграмма Коксетера — Дынкина представляет эти треугольные графы без рёбер порядка 2.

Можно использовать группу Коксетера для более простой записи, как ( p q r ) для циклических графов, ( p q 2) = [ p , q ] для прямоугольных треугольников) и ( p 2 2) = [ p ]×[].

Список треугольников Шварца

Треугольники Мёбиуса на сфере

(2 2 2) или [2,2]	(3 2 2) или [3,2]	...
(3 3 2) или [3,3]	(4 3 2) или [4,3]	(5 3 2) или [5,3]

Треугольники Шварца с целыми числами, также называемые треугольниками Мёбиуса , включают однопараметрическое семейство и три случая:

[ p ,2] или ( p 2 2) – диэдральная симметрия ,
[3,3] или (3 3 2) – Тетраэдральная симметрия ,
[4,3] или (4 3 2) – ,
[5,3] или (5 3 2) – Икосаэдральная симметрия ,

Треугольники Шварца на сфере, сгруппированные по плотности

Треугольники Шварца ( p q r ), сгруппированные по :

Плотность	треугольник Шварца
1	(2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n )
d	(2 2 n / d )
2	(3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3	(2 3/2 3), (2 5/2 5)
4	(3 4/3 4), (3 5/3 5)
5	(2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6	(3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7	(2 3 4/3), (2 3 5/2)
8	(3/2 5/2 5)
9	(2 5/3 5)
10	(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11	(2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13	(2 3 5/3)
14	(3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16	(3 5/4 5/2)
17	(2 3/2 5/2)
18	(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19	(2 3 5/4)
21	(2 5/4 5/2)
22	(3/2 3/2 5/2)
23	(2 3/2 5/3)
26	(3/2 5/3 5/3)
27	(2 5/4 5/3)
29	(2 3/2 5/4)
32	(3/2 5/45/3)
34	(3/2 3/2 5/4)
38	(3/2 5/4 5/4)
42	(5/4 5/4 5/4)

Треугольники на евклидовой плоскости

(3 3 3)	(4 4 2)	(6 3 2)

Плотность 1:

(3 3 3) – 60-60-60 ( равносторонний )
(4 4 2) – (равнобедренный прямоугольный)
(6 3 2) –
(2 2 ∞) - 90-90-0 "треугольник"

Плотность 2:

(6 6 3/2) - 120-30-30 треугольник

Плотность ∞:

(4 4/3 ∞)
(3 3/2 ∞)
(6 6/5 ∞)

Треугольники на гиперболической плоскости

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Фундаментальные области треугольников ( p q r )

Плотность 1:

(2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
(2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
(2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
(2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
(3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
(3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
(3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
(3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
...
(∞ ∞ ∞)

Плотность 2:

(3/2 7 7), (3/2 8 8), (3/2 9 9) ... (3/2 ∞ ∞)
(5/2 4 4), (5/2 5 5), (5/2 6 6) ... (5/2 ∞ ∞)
(7/2 3 3), (7/2 4 4), (7/2 5 5) ... (7/2 ∞ ∞)
(9/2 3 3), (9/2 4 4), (9/2 5 5) ... (9/2 ∞ ∞)
...

Плотность 3:

(2 7/2 7), (2 9/2 9), (2 11/2 11) ...

Плотность 4:

(7/3 3 7), (8/3 3 8), (3 10/3 10), (3 11/3 11) ...

Плотность 6:

(7/4 7 7), (9/4 9 9), (11/4 11 11) ...

Плотность 10:

(3 7/2 7)

Треугольник Шварца (2 3 7) является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и представляет особый интерес. Его группа треугольника (или, более точно, группа фон Дика сохраняющих ориентацию изометрий с индексом 2) является , которая является универсальной группой для всех — максимальных групп изометрий римановых поверхностей . Все группы Гурвица являются факторгруппами группы треугольников (2,3,7) и все поверхности Гурвица покрываются мозаиками из треугольников Шварца (2,3,7). Наименьшая группа Гурвица — это простая группа порядка 168, вторая наименьшая неабелева простая группа , которая изоморфна PSL(2,7) и ассоциирована с поверхностью Гурвица рода 3, — это .

Треугольник (2 3 8) замощает поверхность Больца , высокосимметричную (но не являющуюся поверхностью Гурвица) поверхность рода 2.

Треугольники с одним нецелым углом, перечисленные выше, впервые классифицированы ( англ. ) в статье 1968 года . Список треугольников с несколькими нецелыми углами даны в статье Клименко и Сакума 1998 года .

См. также

Примечания

.
, с. 289—304.
, с. 247—282.

Литература

Coxeter H. C. M. . Table 3: Schwarz’s Triangles // . — Third edition. — Dover Edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8 .
Klimenko E., Sakuma M. Two-generator discrete subgroups of Isom(H ² ) containing orientation-reversing elements // Geometriae Dedicata . — 1998. — Vol. 72, no. 3. — doi : .
Knapp A. W. Doubly generated Fuchsian groups // Michigan Mathematics Journal. — 1968. — Vol. 15, no. 3.
Schwarz H. A. // Journal für die reine und angewandte Mathematik . — 1873. — Bd. 75. — S. 292—335. — ISSN . — doi : . Заметим, что Коксетер ссылается на эту статью как «Zur Theorie der hypergeometrischen Reihe», что является укороченным заголовком, использованным как заголовки страниц.
Wenninger, Magnus J. . // . — CUP Archive, 1979. — P. 132—134. — ISBN 978-0-521-22279-2 .