Interested Article - Список непериодичных наборов плиток

jacinda
  • 2021-07-18
  • 1

Нажмите «показать» для описания.
с выделенной фундаментальной единицей (треугольник) и примитивной ячейкой (шестиугольник). Замощение всей плоскости может быть получено путём сборки копий треугольных «заплат» вместе. Чтобы это сделать, базовый треугольник следует повернуть, чтобы присоединить к соседнему треугольнику. Другая фигура, нарисованная на замощении, белый шестиугольник, представляет примитивную ячейку мозаики. Копии соответствующей фигуры (с рисунком) могут быть параллельно перенесены для образования бесконечной мозаики на плоскости, при этом нет необходимости вращать выделенный участок, чтобы получить замощение.

В геометрии замощение — это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками ) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток) . Замощение считается периодическим, если существуют параллельные переносы в двух независимых направлениях, которые переносят плитки в точно такие же. Такое замощение состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки , которые повторяются бесконечно в двух независимых направлениях . Пример такого замощения показан на иллюстрации справа. Замощения, которые нельзя построить из единственной примитивной ячейки, называются непериодичными. Если данный набор плиток позволяет только непериодичное замощение, такой набор называется непериодичным .

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные непериодичные наборы плиток и даёт некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток остаётся неполным.

Объяснения

Сокращение Значение Объяснение
E 2 Евклидова плоскость обычная плоскость
H 2 Гиперболическая
плоскость 		плоскость, где не выполняется аксиома параллельности
E 3 Евклидово
трёхмерное
пространство 		пространство, определённое тремя перпендикулярными осями координат
ЛВП Локально взаимно производные говорят, что две плитки локально взаимно производные друг из друга, если одна плитка получается из другой простым локальным правилом (таким как удаление или вставка ребра)

Список

Рисунок Название Число плиток Простран-
ство 		Дата публикации Ссылки Комментарии
Плитки «Трилобит» и «Крест» 2 E 2 1999 ЛВП с плитками «Стул» (квадрат с вырезанной четвертинкой)
Плитки Пенроуза P1 6 E 2 1974 ЛВП с плитками P2 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Плитки Пенроуза P2 2 E 2 1977 ЛВП с плитками P1 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Плитки Пенроуза P3 2 E 2 1978 ЛВП с плитками P1 и P2, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Двойные плитки 2 E 2 1988

Хотя плитки похожи на плитки из P3, плитки не являются ЛВП друг из друга. Мозаика разработана в попытках смоделировать расположение атомов в двойных сплавах
6 E 2 1971 Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Нет рисунка Плитки Амманна A1 6 E 2 1977 Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечного иерархического двоичного дерева.
Плитки Амманна A2 2 E 2 1986
Плитки Амманна A3 3 E 2 1986
Плитки Амманна A4 2 E 2 1986 ЛВП с плитками Амманна A5.
Плитки Амманна A5 2 E 2 1982

ЛВП с плитками Амманна A4.
Нет рисунка Плитки Пенроуза «Шестиугольник, Треугольник» 2 E 2 1997
Нет рисунка Плитки «Золотой треугольник» 10 E 2 2001 Дата соответствует времени открытия правил соединения. Двойственные плиткам Амманна A2
Плитки Соколара 3 E 2 1989 ЛВП с плитками «Щит»
Плитки «Щит» 4 E 2 1988 ЛВП с плитками Соколара
Плитки «Квадрат, Треугольник» 5 E 2 1986
Мозаика «Сфинкс» 91 E 2
Плитки «Звезда, лодка, шестиугольник» 3 E 2 ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и треугольниками Робинсона
Треугольник Робинсона 4 E 2 Плитки ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и «Звезда, лодка, шестиугольник».
Треугольники Данцера 6 E 2 1996
Плитки «Вертушка» E 2 1994 Дата соответствует публикации правил соединения.
Плитка Соколара — Тейлор 1 E 2 2010 Несвязная плитка . Непериодичная иерархическая мозаика.
Нет рисунка Плитки Вана 20426 E 2 1966
Нет рисунка Плитки Вана 104 E 2 2008
Нет рисунка Плитки Вана 52 E 2 1971 Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Плитки Вана 32 E 2 1986 локально производные из плиток Пенроуза.
Нет рисунка Плитки Вана 24 E 2 1986 локально производные из плиток A2
Плитки Вана 16 E 2 1986

Производные из плиток A2 и их полос Амманна
Плитки Вана 14 E 2 1996
Плитки Вана 13 E 2 1996
Нет рисунка Плитка «Десятиугольная губка» 1 E 2 2002 Пористая плитка, состоящая из непересекающихся множеств точек
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 85 H 2 2005
Нет рисунка Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса 26 H 2 2005
Гиперболическая плитка Бороцки (Böröczky) 1 H n 1974 Лишь слабо непериодична
Нет рисунка Плитка Шмитта 1 E 3 1988
Плитка Шмитта-Конвея-Данцера 1 E 3 и выпукла
Плитка Соколара — Тейлор 1 E 3 2010 Периодична в третьем измерении
Нет рисунка Ромбоэдр Пенроуза 2 E 3 1981
Ромбоэдры Макея-Амманна 4 E 3 1981 Обладают икосаэдральной симметрией . Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилами соединения, обеспечивающими непериодичность.
Нет рисунка Кубики Вана 21 E 3 1996
Нет рисунка Кубики Вана 18 E 3 1999
Нет рисунка Тетраэдры Данцера 4 E 3 1989
Плитки I и L 2 E n
для всех
n ≥ 3 		1999

Примечания

  1. Grünbaum B., Shephard G. C. Tilings by Regular Polygons // Math. Mag.. — 1977. — Т. 50 , вып. 5 . — С. 227–247 . — doi : . (архив )
  2. Edwards S., (архив)
  3. Stan Wagon. Mathematica in action. — 2nd. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer Verlag, 1998. — С. 216 (9.1 NonPeriodic Tilings). — ISBN 0-387-98252-3 .
  4. Goodman-Strauss C. A Small Aperiodic Set of Planar Tiles // . — 1999. — Т. 20 , вып. 5 . — С. 375–384 . — doi : . (доступен препринт от 4 марта 2016 на Wayback Machine )
  5. Mikhael J. (архив)
  6. Gardner M. (архив)
  7. Penrose R. Pentaplexity // Math. Intell.. — 1979/80. — Т. 2 . — С. 32–37 . — doi : . (архив )
  8. F. Lançon, L. Billard. Two-dimensional system with a quasi-crystalline ground state // J. Phys. France. — 1988. — Т. 49 , вып. 2 . — С. 249–256 . — doi : . (архив )
  9. F. Lançon, L. Billard. A simple example of a non-Pisot tiling with five-fold symmetry // J. Phys. I France. — 1992. — Т. 2 , вып. 2 . — С. 207–220 . — doi : . (архив )
  10. Goodman-Strauss C. Aperiodic Hierarchical tilings // Proc. of NATO-ASI "Foams, Emulsions, and Cellular Materials" Ser. E. — 1999. — Т. 354 . — С. 481–496 . — doi : .
  11. Martin Gardner. . — W. W. Norton & Company, 2001. — С. .
  12. ↑ , согласно от 30 августа 2006 на Wayback Machine ; от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  13. ↑ R. Ammann, B. Grünbaum, G. C. Shephard. Aperiodic Tiles // Discrete Comp Geom. — 1992. — Т. 8 . — С. 1–25 . — doi : .
  14. Harris E., Frettlöh D. от 9 апреля 2016 на Wayback Machine
  15. K. Komatsu, K. Nomakuchi, K. Sakamoto, T. Tokitou. Representation of Ammann-Beenker tilings by an automaton // Nihonkai Math. J.. — 2004. — Т. 15 . — С. 109–118 . (архив )
  16. Harris E., Frettlöh D. от 5 октября 2008 на Wayback Machine
  17. ↑ R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Nato Asi Series C. — Dordrecht: Kluwer, 1997. — Т. 489. — С. 467–497. — ISBN 978-0-7923-4506-0 . — doi : . R. Penrose. The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order / Moody R.V.. — Springer Verlag GMBH, 2010. — Т. 489. — С. 467–497. — (Nato Asi Series U). — ISBN 9048148324 . — doi : .
  18. C. Goodman-Strauss, от 3 марта 2016 на Wayback Machine
  19. Плитка не соответствует равнобедренному « Золотому треугольнику » и является прямоугольным треугольником с золотым соотношением гипотенузы к катету
  20. Ludwig Danzer, Gerrit van Ophuysen. A species of planar triangular tilings with inflation factor // Res. Bull. Panjab Univ. Sci.. — 2001. — Т. 50 , вып. 1-4 . — С. 137–175 .
  21. G Gelbrich. Fractal Penrose tiles II. Tiles with fractal boundary as duals of Penrose triangles // Aequationes Math.. — 1997. — Т. 54 . — С. 108–116 . — doi : .
  22. F. Gähler, R. Lück, S. I. Ben-Abraham, P. Gummelt. . Дата обращения: 25 сентября 2013. 27 сентября 2013 года.
  23. . Дата обращения: 6 января 2016. 3 марта 2016 года.
  24. Gähler F., Frettlöh D. от 3 марта 2016 на Wayback Machine
  25. F. Gähler. Matching rules for quasicrystals: the composition-decomposition method // J. of Non-crystalline Solids. — 1993. — Т. 153&154 . — С. 160–164 . — doi : . (архив )
  26. Stampfli, P. // Helv. Phys. Acta.. — 1986. — Т. 59 . — С. 1260–1263 .
  27. Hermisson J., Richard C., Baake M. от 4 марта 2016 на Wayback Machine (архив )
  28. Goodman-Strauss C., от 13 марта 2012 на Wayback Machine
  29. Lord E. A. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61 . — С. 315 .
  30. Z. Olamy, M. Kléman. A two dimensional aperiodic dense tiling // J. Phys. France. — 1989. — Т. 50 . — С. 19–33 . — doi : . (архив )
  31. M. Mihalkovič, C. L. Henley, M. Widom. Combined energy-diffraction data refinement of decagonal AlNiCo // J. Non-Cryst. Solids. — 2004. — Т. 334&335 . — С. 177–183 . (архив )
  32. Nischke, K-P and Danzer, L,. A construction of inflation rules based on $n$-fold symmetry // Discrete Comput. Geom.. — 1996. — Т. 15 , вып. 2 . — С. 221–236 . — doi : . 96j:52035
  33. Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. от 29 февраля 2012 на Wayback Machine
  34. Radin C. The pinwheel tilings of the plane // . — 1994. — Т. 139 , вып. 3 . — С. 661–702 . — doi : . — JSTOR .
  35. Charles Radin. Symmetry Of Tilings Of The Plane // Annals of Mathematics. — 1994. — doi : .
  36. C. Radin, M. Wolff. Space tilings and local isomorphism // Geom. Dedicata. — 1992. — Т. 42 , вып. 3 . — С. 355–360 . — doi : .
  37. C. Radin. Aperiodic tilings, ergodic theory, and rotations // The mathematics of long-range aperiodic order. — Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1997.
  38. ↑ Socolar J. E. S. and Taylor J. M.
  39. ↑ Socolar J. E. S. and Taylor J. M.
  40. Burger R. The Undecidability of the Domino Problem // Memoirs of the American Mathematical Society. — 1966. — Т. 66 . — С. 1–72 .
  41. Ollinger Nicolas. Two-by-two Substitution Systems and the Undecidability of the Domino Problem. — Springer, 2008. — С. 476–485.
  42. J. Kari , P. Papasoglu. Deterministic Aperiodic Tile Sets // Geometric and Functional Analysis. — 1999. — Т. 9 . — С. 353–369 . — doi : .
  43. ↑ Lagae A., Kari J. , Dutré P. Aperiodic Sets of Square Tiles with Colored Corners // Report CW. — 2006. — Т. 460 . — С. 12 . 2 октября 2010 года.
  44. .
  45. A. Carbone, M. Gromov, P. Prusinkiewicz. Pattern Formation in Biology, Vision and Dynamics. — Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2000. — ISBN 981-02-3792-8 .
  46. Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
  47. Lagae A. (архив)
  48. Culik K., Kari J. (недоступная ссылка)
  49. K. Culik. . Дата обращения: 25 сентября 2013. 2 октября 2010 года.
  50. Zhu F. от 14 марта 2012 на Wayback Machine
  51. D. A. Bailey, F. Zhu. . Дата обращения: 25 сентября 2013. 27 сентября 2013 года.
  52. Goodman-Strauss C., от 16 июля 2016 на Wayback Machine
  53. Goodman-Strauss C. // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159 . — С. 130–132 . — doi : . — Bibcode : .
  54. K. Böröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben I // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 25 . — С. 265–306 . K. Böröczky. Gömbkitöltések állandó görbületü terekben II // Mat. Lapok.. — 1974. — Т. 26 . — С. 67–90 .
  55. Goodman-Strauss C. // Invent. Math.. — 2005. — Т. 159 . — С. 120 . — doi : . — Bibcode : .
  56. Dolbilin N., Frettlöh D. от 3 марта 2012 на Wayback Machine (архив )
  57. ↑ Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // Proceedings of the American Mathematical Society . — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123 , вып. 11 . — С. 3543–3548 . — doi : . — JSTOR .
  58. Маккей Аллан. JI. DE NTVE QUINQUANGULA о пятиугольных снежинках // Кристаллография. — 1981. — Т. 26 , вып. 5 . — С. 910-919. . (архив )
  59. Meisterernst G. (архив)
  60. Jirong S. Structure Transition of the Three-Dimensional Penrose Tiling Under Phason Strain Field // Chinese Phys. Lett.. — 1993. — Т. 10, No.8 . — С. 449–452 . — doi : . (архив )
  61. Inchbald G. от 24 сентября 2015 на Wayback Machine
  62. Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. Quasicrystals: tiling versus clustering // Phil. Mag. A. — 2001. — Т. 81 . — С. 2645–2651 . — doi : . (архив )
  63. Rudhart C. P. от 12 марта 2012 на Wayback Machine см. страницу 11
  64. Lord E. A., Ranganathan S., Kulkarni U. D. Tilings, coverings, clusters and quasicrystals // Current Science. — 2000. — Т. 78 , вып. 1 . — С. 64–72 . (архив )
  65. Katz A. Theory of Matching Rules for the 3-Dimensional Penrose Tilings // Commun. Math. Phys.. — 1988. — Т. 118 , вып. 2 . — С. 263–288 . — doi : . (архив )
  66. Eric A. Lord. Quasicrystals and Penrose patterns // Current Science. — 1991. — Т. 61 , вып. 5 . — С. 313 .
  67. K. Culik, J. Kari. . Дата обращения: 25 сентября 2013. 27 сентября 2013 года.
  68. G. Walther, C. Selter. Mathematikdidaktik als design science. — Leipzig: Ernst Klett Grundschulverlag, 1999. — ISBN 3122000601 .
  69. L. Danzer. // Discrete Mathematics. — 1989. — Т. 76 . — С. 1–7 . — doi : .
  70. Zerhusen A., от 25 июня 2015 на Wayback Machine
  71. Goodman-Strauss C. An Aperiodic Pair of Tiles in E n for all n ≥ 3 // . — 1999. — Т. 20 , вып. 5 . — С. 385–395 . — doi : . (доступен препринт от 4 марта 2016 на Wayback Machine )

Первые публикации

  1. Penrose, R. (1974), «The role of Aesthetics in Pure and Applied Mathematical Research», Bull. Inst. Math. and its Appl. 10 : 266—271
  2. Gardner, M. (January 1977), «Extraordinary nonperiodic tiling that enriches the theory of tiles», Scientific American 236 : 110—121
  3. Penrose, R. (1978), «Pentaplexity», Eureka 39 : 16-22
  4. ↑ Robinson, R. (1971), «Undecidability and nonperiodicity of tilings in the plane», Inv. Math. 12 : 177—209
  5. ↑ .
  6. Beenker, F. P. M.(1982), «Algebraic theory of non-periodic tilings of the plane by two simple building blocks: a square and a rhombus», Eindhoven University of Technology, TH Report 82-WSK04
  7. Socolar, J. E. S. (1989), «Simple octagonal and dodecagonal quasicrystals», Phys. Rev. A 39 : 10519-51
  8. Gahler, F., от 3 марта 2016 на Wayback Machine , published in Janot, C.: Quasicrystalline materials : Proceedings of the I.L.L. / Codest Workshop, Grenoble, 21-25 March 1988. Singapore : World Scientific, 1988, 272—284

Литература

  • B. Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns (англ.) . — New York: W.H. Freeman and Company, 1986. — ISBN 0-7167-1193-1 .

Ссылки

  • Stephens P. W., Goldman A. I.
  • Levine D., Steinhardt P. J.
Источник —

jacinda
  • 2021-07-18
  • 1
  • Tags:

Same as Список непериодичных наборов плиток

The title for the last searches