Подстановки плиток — метод построения мозаик . Наиболее важно, что некоторые подстановки плиток образуют апериодические мозаики , то есть замощения, которых не образуют какую-либо мозаику с параллельным переносом . Наиболее известные из них — мозаики Пенроуза . Подстановочные мозаики являются специальными случаями правил конечного подразделения , когда не требуется геометрическое равенство плиток.

Введение

Подстановка плитки описывается множеством протоплиток ${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}}$ , отображением расширения ${\displaystyle Q}$ и правилом деления , задающим, каким образом делить расширенные протоплитки ${\displaystyle QT_{i}}$ чтобы образовать копии некоторых протоплиток ${\displaystyle T_{j}}$ . Итеративная подстановка плиток образует мозаику на плоскости, называемую подстановочной мозаикой . Некоторые подстановочные мозаики периодичны , то есть имеют трансляционную симметрию . Среди непериодических подстановочных мозаик некоторые являются апериодичными , что означает, что их протоплитки нельзя разместить в виде периодической мозаики.

Простой пример создания периодичного замощения одной плиткой, а именно, квадратом:

Повторяя эту подстановку, всё большие и большие области плоскости будут покрываться квадратной сеткой. Более сложный пример из двух протоплиток показан ниже.

Можно интуитивно понять, каким образом эта процедура образует подстановочную мозаику всей плоскости . Математическое определение дано ниже. Подстановочные мозаики весьма полезны как путь определения апериодичных мозаик , которые являются объектами исследования многих областей математики , включая теорию автоматов , комбинаторику , комбинаторную геометрию , динамические системы , теорию групп , гармонический анализ и теорию чисел , не говоря уже об областях, где эти мозаики возникли, кристаллографию и химию . В частности, мозаика Пенроуза является примером апериодичной подстановочной мозаики.

История

В 1973 и 1974 Роджер Пенроуз открыл семейство апериодических мозаик, ныне называемых мозаиками Пенроуза . Первое открытие было дано в терминах «правил совмещения», по которым работа с плитками шла так же, как с кусочками мозаичной картинки . Доказательство, что копии этих протоплиток можно соединить вместе для образования мозаики плоскости, но эта мозаика не может образовать периодическую мозаику, использует построение, которое можно рассматривать как подстановочную мозаику протоплиток. В 1977 обнаружил несколько наборов апериодических протоплиток, т.е. протоплиток, для которых правила совмещения приводят к непериодическим мозаикам. В частности, он переоткрыл первый пример Пенроуза. Этот труд повлиял на учёных, работающих в области кристаллография , что, в итоге, привело к открытию квазикристаллов . И наоборот, интерес к квазикристаллам привёл к открытию некоторых вполне упорядоченных апериодических мозаик. Многие из них можно легко описать как подстановочную мозаику.

Математическое определение

Рассмотрим области в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$ , которые , в том смысле, что область является непустым компактным подмножеством, которое является замыканием своей внутренности .

Возьмём набор областей ${\displaystyle \mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}}$ в качестве протоплиток. Размещение протоплитки ${\displaystyle T_{i}}$ — это пара ${\displaystyle (T_{i},\varphi )}$ , где ${\displaystyle \varphi }$ является изометрией ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$ . Образ ${\displaystyle \varphi (T_{i})}$ называется областью размещения. Мозаика T — это набор областей размещения протоплиток, в котором внутренние области протоплиток не имеют общих частей. Мы говорим, что мозаика T является мозаикой на W , если W является объединение областей размещения из T .

Подстановка плиток в литературе зачастую недостаточно хорошо определена. Точное определение следующее .

Подстановка плитки для протоплиток P — это пара ${\displaystyle (Q,\sigma )}$ , где ${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}}$ является линейным отображением , все cобственные значения которого больше единицы по модулю, а правила подстановки ${\displaystyle \sigma }$ отображают ${\displaystyle T_{i}}$ в плитку ${\displaystyle QT_{i}}$ . Подстановка плитки ${\displaystyle \sigma }$ порождает отображение из любой плитки T области W в плитку ${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )}$ области ${\displaystyle Q_{\sigma }(\mathbf {W} )}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.}$

Заметим, что протоплитки можно вывести из подстановки плиток. Таким образом, нет необходимости включать их в подстановки плиток ${\displaystyle (Q,\sigma )}$ .

Любое замощение ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$ , любая конечная часть которого конгруэнтна подмножеству некоторого ${\displaystyle \sigma ^{k}(T_{i})}$ , называется подстановочной мозаикой (для подстановки плитки ${\displaystyle (Q,\sigma )}$ ).

См. также

• Мозаика «Вертушка»

Примечания

Литература для дальнейшего чтения

• N. Pytheas Fogg. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics / Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A.. — Berlin: Springer-Verlag , 2002. — Т. 1794. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-44141-7 .
• D. Frettlöh. Duality of Model Sets Generated by Substitutions // Romanian J. of Pure and Applied Math. — 2005. — Вып. 50 .
• Vince A. Directions in Mathematical Quasicrystals / M. Baake, R.V. Moody. — Providence: AMS, 2000. — Т. 13. — (CRM Monograph series).

Ссылки

• Dirk Frettlöh's and Edmund Harriss's