Функция Фабиуса — классический пример гладкой, но не аналитической функции , основанный на бесконечной сумме случайных величин .

Определение

Функция Фабиуса определена на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ как функция распределения случайной величины, представляющей собой сумму

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}\xi _{n}}$ ,

где ${\displaystyle \xi _{n}}$ — независимые одинаково распределённые случайные величины с равномерным распределением на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ .

Свойства

Функция Фабиуса — бесконечно дифференцируемая , но не является аналитической ни в одной точке: в двоично-рациональных точках её ряд Тейлора сводится к многочлену (не совпадающему с самой фунцией), а во всех прочих точках — расходится.

Функция Фабиуса ${\displaystyle f(x)}$ обладает симметрией ${\displaystyle f(1-x)=1-f(x)}$ на всём отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ . Она также удовлетворяет

${\displaystyle f'(x)=2f(2x)}$

на отрезке ${\displaystyle [0,1/2]}$ .

Используя функционально-дифференциальное уравнение, можно продолжить функцию на все положительные действительные аргументы. В результате получается последовательность отрезков, на которых функция принимает положительные и отрицательные значения в точности в соответствии с последовательностью Морса — Туэ .

Значение функции Фабиуса при любом двоично-рациональном значении аргумента — рациональное число .

Альтернативные определения

Функцию неоднократно переоткрывали. Яп Фабиус ввёл приведённое выше определение в статье 1966 года. Ещё в статье 1935 года ту же самую функцию описали как преобразование Фурье бесконечного произведения

${\displaystyle {\hat {f}}(z)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(\cos {\frac {\pi z}{2^{m}}}\right)^{m}}$ .

Также функция Фабиуса совпадает с атомарной функцией up( x ) , введённой Владимиром Рвачёвым , при соответствующем сдвиге аргумента.

Ссылки

• Fabius, Jaap (1966), "A probabilistic example of a nowhere analytic C ^∞ -function", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete , 5 (2): 173—174, doi : , MR , S2CID {{ citation }} : templatestyles stripmarker в |title= на позиции 47 ( справка )
• Jessen, Børge; Wintner, Aurel (1935), "Distribution functions and the Riemann zeta function", Trans. Amer. Math. Soc. , 38 : 48—88, doi : , MR
• Dimitrov, Youri (2006). (Thesis).
• Arias de Reyna, Juan (2017). "An infinitely differentiable function with compact support: Definition and properties". arXiv : [ ].
• Arias de Reyna, Juan (2017). "Arithmetic of the Fabius function". arXiv : [ ].
• В. Л. Рвачёв, В. А. Рвачёв, «Неклассические методы теории приближений в краевых задачах», Наукова думка, Киев (1979).
• В. А. Рвачев. // УМН. — 1990. — Т. 47. — С. 77–103.
• Последовательность в OEIS : Числители значений функции Фабиуса F(1/2 ⁿ ) = Numerators of the Fabius function F(1/2^n).