Линейные электронные фильтры
Фильтр Чебышёва Эллиптический фильтр Фильтр Бесселя Фильтр Гаусса Фильтр Лежандра Фильтр Габора

Фильтр Баттерво́рта — один из типов электронных фильтров . Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания .

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером (англ.) ( в статье «О теории фильтрующих усилителей» ( англ. On the Theory of Filter Amplifiers ), в журнале Wireless Engineer в 1930 году .

Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ , амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает с крутизной −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду ) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты.

Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров ( фильтр Бесселя , фильтр Чебышёва , эллиптический фильтр ) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышёва I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот , из которого легко можно получить фильтр высоких частот , полосовой или режекторный фильтр .

Амплитудно-частотная характеристика ${\displaystyle G(\omega )}$ фильтра Баттерворта ${\displaystyle n}$ -го порядка может быть получена из передаточной функции ${\displaystyle H(s)}$ :

${\displaystyle G^{2}(\omega )=\left|H(j\omega )\right|^{2}={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {\omega }{\omega _{c}}}\right)^{2n}}}}$

где

• ${\displaystyle n}$ — порядок фильтра
• ${\displaystyle \omega _{c}}$ — частота среза (частота на которой амплитуда равна −3 дБ)
• ${\displaystyle G_{0}}$ — коэффициент усиления по постоянной составляющей (усиление на нулевой частоте)

Легко заметить, что для бесконечных значений ${\displaystyle n}$ АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления ${\displaystyle G_{0}}$ , а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений ${\displaystyle n}$ спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены ${\displaystyle s=+j\omega }$ представим выражение ${\displaystyle H(s)H(-s)}$ в виде ${\displaystyle |H(\omega )|^{2}}$ :

${\displaystyle H(s)H(-s)={\frac {G_{0}^{2}}{1+\left({\frac {-s^{2}}{\omega _{c}^{2}}}\right)^{n}}}}$

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса ${\displaystyle \omega _{c}}$ равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости . ${\displaystyle k}$ -й полюс определяется из следующего выражения:

${\displaystyle -{\frac {s_{k}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}=(-1)^{\frac {2k-1}{n}}=e^{\frac {j(2k-1)\pi }{n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

откуда

${\displaystyle s_{k}=\omega _{c}e^{\frac {j(2k+n-1)\pi }{2n}}\qquad k=1,2,3,\ldots ,n}$

Передаточную функцию можно записать в виде:

${\displaystyle H(s)={\frac {G_{0}}{\prod _{k=1}^{n}(s-s_{k})/\omega _{c}}}}$

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s -плоскости, а для z -плоскости .

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ . Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

${\displaystyle B_{n}(s)=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]}$ , ${\displaystyle n}$ — чётно

${\displaystyle B_{n}(s)=(s+1)\prod _{k=1}^{\frac {n-1}{2}}\left[s^{2}-2s\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\,\pi \right)+1\right]}$ , ${\displaystyle n}$ — нечётно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

${\displaystyle n}$	Коэффициенты полиномов ${\displaystyle B_{n}(s)}$
1	${\displaystyle (s+1)}$
2	${\displaystyle s^{2}+1{,}41421s+1}$
3	${\displaystyle (s+1)(s^{2}+s+1)}$
4	${\displaystyle (s^{2}+0{,}76537s+1)(s^{2}+1{,}84776s+1)}$
5	${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0{,}61803s+1)(s^{2}+1{,}61803s+1)}$
6	${\displaystyle (s^{2}+0{,}51764s+1)(s^{2}+1{,}41421s+1)(s^{2}+1{,}93185s+1)}$
7	${\displaystyle (s+1)(s^{2}+0{,}44504s+1)(s^{2}+1{,}24698s+1)(s^{2}+1{,}80194s+1)}$
8	${\displaystyle (s^{2}+0{,}39018s+1)(s^{2}+1{,}11114s+1)(s^{2}+1{,}66294s+1)(s^{2}+1{,}96157s+1)}$

Максимальная гладкость

Приняв ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ и ${\displaystyle G_{0}=1}$ , производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

${\displaystyle {\frac {dG}{d\omega }}=-nG^{3}\omega ^{2n-1}}$

Она монотонно убывает для всех ${\displaystyle \omega }$ так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристики в ряд , получим:

${\displaystyle G(\omega )=1-{\frac {1}{2}}\omega ^{2n}+{\frac {3}{8}}\omega ^{4n}+\ldots }$

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характеристики по частоте до ${\displaystyle 2n}$ -й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

Спад характеристики на высоких частотах

Приняв ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ , найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {d\log(G)}{d\log(\omega )}}=-n}$

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон ${\displaystyle -20n}$ дБ/декаду.

Проектирование фильтра

Существует ряд различных , с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

Топология Кауэра

использует пассивные элементы ( ёмкости и индуктивности ) . Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. ${\displaystyle k}$ -й элемент фильтра задаётся соотношением:

${\displaystyle C_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}$ ; k нечётно

${\displaystyle L_{k}=2\sin \left[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi \right]}$ ; k чётно

Топология Саллена — Ки

Топология Саллена-Ки использует помимо пассивных также и активные элементы ( операционные усилители ). Каждый каскад схемы Саллена-Ки представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC -цепочки , и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Ки имеет вид:

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}}}$

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв ${\displaystyle \omega _{c}=1}$ , получим:

${\displaystyle C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}=1}$

и

${\displaystyle C_{2}(R_{1}+R_{2})=2\cos \left({\frac {2k+n-1}{2n}}\right)}$

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами пятого порядка.

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

Пример

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с ${\displaystyle C_{2}=4/3}$ фарад, ${\displaystyle R_{4}=1}$ ом, ${\displaystyle L_{1}=1/2}$ и ${\displaystyle L_{3}=3/2}$ генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей ${\displaystyle C}$ как ${\displaystyle 1/(sC)}$ и полное сопротивление индуктивностей ${\displaystyle L}$ как ${\displaystyle sL}$ , где ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ — комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем , получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

${\displaystyle H(s)={\frac {V_{o}(s)}{V_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}}$

АЧХ ${\displaystyle G(\omega )}$ задаётся уравнением:

${\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}={\frac {1}{1+\omega ^{6}}}}$

а ФЧХ задаётся уравнением:

${\displaystyle \Phi (\omega )=\arg[H(j\omega )]}$

определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ ${\displaystyle \lg G}$ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости — индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

См. также

• Электронный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений

Примечания

Литература

• В.А. Лукас. Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М. : Энергия, 1977.
• Miroslav D. Lutovac. . — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2 .
• Richard W. Daniels. Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6 .
• Steven W. Smith. . — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1 .
• Britton C. Rorabaugh. . — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7 .
• B. Widrow, S.D. Stearns. Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0 .
• S. Haykin. Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1 .
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt. . — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0 .
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1 .
• L.R. Rabiner , R.W. Schafer. . — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1 .
• Richard J. Higgins. . — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X .
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer. . — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5 .
• L. R. Rabiner , B. Gold. Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4 .
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis. Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X .

Ссылки

• (англ.)
• от 22 июня 2006 на Wayback Machine