Эллиптический фильтр
(
фильтр
Кауэра
, или фильтр
Золотарёва
) —
электронный фильтр
, характерной особенностью которого являются пульсации
амплитудно-частотной характеристики
как в
полосе пропускания
, так и
полосе подавления
. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. При цитировании важно помнить что в западной литературе называется исключительно фильтром
Кауэра
, в соответствии с первенством описания в работах по теории цепей и телефонии.
Золотарев
, ученик Чебышева, лишь развивал его теорию и не остался в истории связи за пределами России; телефония появился лишь незадолго до его смерти. Поэтому часто применяют компромиссный термин "эллиптический" фильтр.
Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится
фильтром Чебышёва I рода
. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится
фильтром Баттерворта
.
Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.
Содержание
Свойства
В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до
.
В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения
, которое определяется как:
АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до
Так как
фильтр Баттерворта
является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий
и
так что
эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.
Нули
модуля АЧХ совпадают с
полюсами
дробно-рациональной эллиптической функции.
Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса
эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту
получим:
где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса
m
.
Полюса эллиптической функции в таком случае:
Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме
где
— функция от
, а
и
— нули эллиптической функции. Функция
определена для всех
n
в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем
где
Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для
:
где
Эллиптические фильтры с минимальной добротностью
См.
Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики
аналогового фильтра
к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (
добротности
) полюсов
передаточной функции
фильтра. Добротностью полюса определяется как:
и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:
Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от
фильтра Баттерворта
, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.
Сравнение с другими линейными фильтрами
На рисунке представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка.
Как следует из графиков, эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает самыми большими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.