Фильтр Габора — линейный электронный фильтр , импульсная переходная характеристика которого определяется в виде гармонической функции , помноженной на гауссиан . При цифровой обработке изображений этот фильтр применяется для распознавания границ объектов.

Из-за свойства соответствия свёртки во временной области умножению в частотной области, преобразование Фурье импульсной передаточной характеристики фильтра Габора является свёрткой преобразований Фурье гармонической функции и гауссиана.

${\displaystyle g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=\exp \left(-{\frac {x'^{2}+\gamma ^{2}y'^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cos(2\pi {\frac {x'}{\lambda }}+\psi )}$

где ${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta \,,}$ ${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta \,.}$

В этом уравнении ${\displaystyle \lambda }$ представляет собой длину волны множителя-косинуса, ${\displaystyle \theta }$ определяет ориентацию нормали параллельных полос в градусах, ${\displaystyle \psi }$ — сдвиг фаз в градусах и ${\displaystyle \gamma }$ — коэффициент сжатия, характеризующий эллиптичность функции Габора.

Фильтры Габора напрямую связаны с вейвлетами Габора, так как они могут быть сконструированы путём ряда сжатий и вращений. Пространство Габора (свёртка фильтра с сигналом) часто применяется в различных приложениях обработки изображений , в частности, для распознавания радужной оболочки в биометрических системах безопасности и в автоматизированных система контроля доступа на основании распознавания отпечатков пальцев.

Алгоритм построения одномерного фильтра Габора

Для построения одномерного фильтра Габора применяется формула:
${\displaystyle G(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cos(2\pi \theta x)}$ ,

где:

• ${\displaystyle \sigma }$ — стандартное отклонение Гаусового ядра, определяющее амплитуду функции;
• ${\displaystyle \theta }$ — частота колебаний, определяемая как ${\displaystyle \theta ={\frac {1}{T}}}$ , где:
• ${\displaystyle T}$ — период функции ${\displaystyle \cos(2\pi \theta x)}$ .

Чем больше ${\displaystyle \sigma }$ , тем более пологий вид примет функция. Чем меньше ${\displaystyle \sigma }$ , тем более острый пик получится в результате построения графика функции.

Приведённая выше функция экспоненты обладает свойствами нормального распределения случайной величины. Согласно правилу трёх сигм, практически все значения экспоненты лежат в интервале ${\displaystyle [-3\sigma ;3\sigma ]}$ . Для анализа сигналов, значения функции рассчитываются в указанных пределах.

• 
  Косинус, экспонента и их композиция в функцию Габора
• 
  Зависимость функции ${\displaystyle G(x)}$ от ${\displaystyle \sigma }$
• 
  Зависимость функции ${\displaystyle G(x)}$ от ${\displaystyle \theta }$

Обработка одномерного сигнала фильтром Габора

Каждая точка входного сигнала ${\displaystyle F(x)}$ преобразуется в соответствующую точку выходного сигнала ${\displaystyle F^{'}(x)}$ , путём усреднения значений входного сигнала ${\displaystyle F(t)}$ по области ${\displaystyle t\in [x-{\frac {n}{2}},x+{\frac {n}{2}}]}$ , с учётом весовых коэффициентов ${\displaystyle G(i)}$ формулы Габора.

${\displaystyle F^{'}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x-{\frac {n}{2}}+i)\cdot G(i)}$

где:

${\displaystyle F(x)}$ — входное значение сигнала в точке ${\displaystyle x}$ ,

${\displaystyle F^{'}(x)}$ — выходное значение сигнала в точке ${\displaystyle x}$ ,

${\displaystyle G(i)}$ — значение функции Габора, ${\displaystyle i\in [0,n]}$ .

Алгоритм построения двумерного фильтра Габора

Для построения двумерного фильтра Габора применяется формула:

${\displaystyle G(x,y)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x_{\phi }^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y_{\phi }^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right]\right)\cos(2\pi \theta x_{\phi })}$

${\displaystyle x_{\phi }=x\cos(\phi )+y\sin(\phi )}$

${\displaystyle y_{\phi }=-x\sin(\phi )+y\cos(\phi )}$

где:

${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y}}$ — стандартные отклонения гауссова ядра, по осям ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , определяющие растянутость фильтра по осям,

${\displaystyle \theta }$ — частотная модуляция фильтра,

${\displaystyle \phi }$ — пространственная направленность фильтра, определяющая его ориентацию относительно главных осей.

Обработка двумерного изображения фильтром Габора

Обработка изображения фильтром Габора достигается путём усреднения значений обрабатываемого изображения по некоторой области в каждой точке. Соответственно, наложение фильтра Габора на изображение имеет вид:
${\displaystyle I^{'}(x,y)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}I(x-{\frac {n}{2}}+i,y-{\frac {n}{2}}+j)\cdot G(i,j)}$
где:
${\displaystyle I(x,y)}$ — интенсивность исходного изображения в точке ${\displaystyle (x,y)}$ ,
${\displaystyle I^{'}(x,y)}$ — интенсивность нового изображения в точке ${\displaystyle (x,y)}$ ,
${\displaystyle G(i,j)}$ — значение функции Габора, ${\displaystyle i\in [0,n],j\in [0,n]}$ .
Если отбросить синусоидальную составляющую функции в фильтре Габора, он выродится в фильтр Гауссова размытия (Gaussian Blur) . Поэтому очевидно, что эти два фильтра имеют практически одинаковый алгоритм применения, различающийся в некоторых деталях.
Из формулы Габора видно, что фильтр зависит от частоты и направления квазипериодической структуры изображения. Поэтому перед применением фильтра необходимо построить частотное и ориентационное поля для текущего изображения. Обычно для упрощения задачи рассчитывается средняя частота изображения, которая считается неизменной в каждой точке.
Для построения поля направлений может применяться несколько способов, наиболее быстрым из которых является дифференциальный метод, позволяющий построить четырёхградационное поле направлений.
Таким образом, имея частоту и 4 направления, предварительно строятся 4 фильтра Габора, по одному на каждое направление. После чего в каждой точке изображения происходит свертка фильтра с изображением по определённой области, что дает выходное значение нового изображения.
Фильтр Габора эффективен при обработке изображений со структурной избыточностью, имеющих квазипериодическую структуру. К ним относятся дактилоскопические изображения, изображения кристаллограмм и интерферрограмм. В живой природе подобный окрас нередко встречается у зебр, различных кошачьих (тигры, рыси, дымчатые коты), птиц (тетерева), рыб (лепоринус полосатый) и прочих представителей флоры и фауны.

Пример реализации

Вот пример реализации фильтра Габора для пакета Matlab :

function gb = gabor_fn(sigma_x, theta, lambda, psi, gamma)

sz_x = fix(6 * sigma_x);                    % исходя из значения сигмы получили размер ядра
sz_x = sz_x - mod(sz_x,2) + 1;              % если четное - делаем нечетным

sz_y = fix(6 * sigma_x / gamma);            % исходя из значения сигмы и коэф. сжатия получили второй размер ядра
sz_y = sz_y - mod(sz_y,2) + 1;              % если четное - делаем нечетным

[x y] = meshgrid(-fix(sz_x/2):fix(sz_x/2), fix(-sz_y/2):fix(sz_y/2));   % задали область определения

% Поворот
x_theta = x*cos(theta) + y*sin(theta);
y_theta = -x*sin(theta) + y*cos(theta);

gb = exp(-.5 * (x_theta.^2/sigma_x^2 + gamma^2*y_theta.^2/sigma_x^2))* cos(2 * pi* x_theta./lambda  + psi); % ядро

См. также

• Денеш Габор

Литература

• Сойфер В.А. . — Физматлит, 2003. — С. .
• Храмов, А. Г. Методы восстановления интерферрограмм на ЭВМ. — КуАИ, 1988. — С. 88.