Interested Article - Мономорфизм
- 2020-06-28
- 1
Мономорфи́зм ― морфизм категории , такой что из всякого равенства следует, что (другими словами, на можно сокращать слева). Часто мономорфизм из в обозначают .
Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма . (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом , в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)
Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции . Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.
Связь с обратимостью
Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если — левый обратный к (то есть ), то:
- .
В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп , если является подгруппой , то вложение — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм существует, только если у есть нормальная (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение , определённое как для морфизмов , инъективно для всех Z .
Связь с инъективностью
Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях . В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию , порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории .
Однако это верно не всегда. Например, в категории делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации .
Типы мономорфизмов
Мономорфизм называется регулярным , если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.
Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде с эпиморфизмом , то — изоморфизм.
Терминология
Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки , причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.
Литература
- Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова . — М. : Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4 .
- George Bergman (1998), , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .
- 2020-06-28
- 1