Башня полей — последовательность из расширений для некоторого поля ${\displaystyle K}$ : ${\displaystyle K\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{i}\subset \dots }$ , может быть конечной или бесконечной. Часто записывается вертикально:

${\displaystyle {\begin{array}{c}\vdots \\|\\K_{i}\\|\\\vdots \\|\\K_{1}\\|\\K\end{array}}}$

Например, ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }$ — конечная башня расширений поля рациональных чисел , последовательно включающая поля вещественных и комплексных чисел.

Нормальная башня полей — последовательность нормальных расширений , сепарабельная башня полей — последовательность сепарабельных расширений , абелева башня полей — последовательность абелевых расширений .

Классическая задача разрешимости в радикалах многочленов, решённая средствами теории Галуа , может быть сформулирована в терминах башен полей: разрешимость эквивалентна погружаемости поля коэффициентов данного многочлена в нормальную и абелеву башню полей.

Башня полей классов — башня полей, построенная над некоторым полем алгебраических чисел , каждый элемент которой является максимальным абелевым неразветвлённым расширением предыдущего. Один из результатов теории полей классов , влекущий важные следствия для алгебраической теории чисел — отрицательное решение неограниченной проблемы Бёрнсайда ( теорема Голода — Шафаревича ), на языке полей классов формулируется следующим образом: существуют бесконечные башни классов полей (в частности, такова башня, построенная над расширением поля рациональных чисел, полученного присоединением числа ${\displaystyle {\sqrt {30030}}}$ ).

Примечания

Литература

• И. М. Виноградов. Башня полей // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.) . — 1977—1985.