Электри́ческий пото́к ― поток вектора напряжённости электрического поля ( ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ) или электрической индукции ( ${\displaystyle \mathbf {D} }$ ) через некоторую поверхность ${\displaystyle S}$ . Вычисляется как интеграл по этой поверхности:

${\displaystyle \Phi =\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}\quad }$ или ${\displaystyle \quad \Psi =\int _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}}$ .

На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В ${\displaystyle \cdot }$ м, для ${\displaystyle \Phi }$ ) или кулон (Кл, для ${\displaystyle \Psi }$ ). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: ${\displaystyle \Phi _{E}}$ , ${\displaystyle \Psi _{D}}$ .

Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток ( ${\displaystyle \Psi _{D}}$ ), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).

Общий случай

В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл , в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например ${\displaystyle d\Phi _{E}}$ ), то есть скалярное произведение вектора ${\displaystyle {\vec {E}}}$ в данной точке на малый векторный элемент площадки:

${\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} }$ .

Элемент ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ записывается как произведение площади ${\displaystyle dS}$ данной площадки на единичный вектор нормали к ней ${\displaystyle d\mathbf {S} =dS\,\mathbf {n} }$ , так что выражение для элементарного потока приобретает вид

${\displaystyle {\mathit {d}}\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=E\,dS\,\cos \theta }$ ,

где через ${\displaystyle \theta }$ обозначен угол между векторами ${\displaystyle {\vec {E}}}$ и ${\displaystyle {\vec {n}}}$ . Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:

${\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}{\mathit {d}}\Phi _{E}}$ .

При вычислении ${\displaystyle d\Psi _{D}}$ выполняются аналогичные действия, только с вектором ${\displaystyle {\vec {D}}}$ . В общем случае не существует простой связи ни между ${\displaystyle d\Psi _{D}}$ и ${\displaystyle d\Phi _{E}}$ , ни между ${\displaystyle \Psi _{D}}$ и ${\displaystyle \Phi _{E}}$ .

Случай однородного поля

Если электрическое поле однородно вблизи поверхности ${\displaystyle S}$ , оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле

${\displaystyle \Phi _{E}=E\cdot \int _{S}\cos \theta \,dS}$ ,

а если ещё поверхность плоская, то по формуле

${\displaystyle \Phi _{E}=E\,S\,\cos \theta }$ .

Если однородно поле ${\displaystyle {\vec {D}}}$ , подобное упрощение возможно для ${\displaystyle \Psi _{D}}$ . При этом однородность ${\displaystyle {\vec {E}}}$ не всегда означает однородность ${\displaystyle {\vec {D}}}$ и наоборот.

Случай слабых полей

В ситуации со слабыми ^[1] электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии , векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \,\mathbf {E} }$ ,

где ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ― диэлектрическая постоянная, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.

В таком случае для элементарных потоков ${\displaystyle d\Psi _{D}}$ и ${\displaystyle d\Phi _{E}}$ имеется простое соотношение:

${\displaystyle d\Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,d\Phi _{E}}$ .

Если, кроме того, диэлектрик однороден ( ${\displaystyle \varepsilon =\,}$ const), то полные потоки оказываются также связаны константой:

${\displaystyle \Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,\Phi _{E}}$ .

Для вакуума ( ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.

Теорема Гаусса и поток

Согласно теореме Гаусса , электрический поток через замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$ равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов . Выражение теоремы может быть записано для потока как ${\displaystyle {\vec {E}}}$ , так и ${\displaystyle {\vec {D}}}$ :

${\displaystyle \Phi _{\mathbf {E} }=\oint _{S}\mathbf {E} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\varepsilon _{0}^{-1}Q_{tot}}$ ,

${\displaystyle \Psi _{\mathbf {D} }=\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q}$ ,

но смысл понятия «все заряды» различен. В случае ${\displaystyle {\vec {E}}}$ имеются в виду вообще все заряды ( ${\displaystyle Q_{tot}}$ ) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика ), а в случае ${\displaystyle {\vec {D}}}$ — только свободные ( ${\displaystyle Q}$ ).

Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла , в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):

${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho \,dV}$ ,

где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности ${\displaystyle S}$ .

См. также

• Магнитный поток

Литература

• Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Изд.3-е., М: Высшая школа, 1968.-412с.

Примечания

1. Поля считаются слабыми, если смещение связанных зарядов, а следовательно, вызванная ими поляризация, линейно зависят от данного поля.