Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем ${\displaystyle \pm 1}$ . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен ${\displaystyle 1}$ .

Определения

• Решётка — свободная абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ конечного ранга ${\displaystyle n}$ с симметричной билинейной формой ${\displaystyle ({*},{*})}$ .
• Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ с симметрической билинейной формой .
• Число ${\displaystyle n}$ называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства ; это то же, что и ранг ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ - модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ , или число образующих свободной группы ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ .
• Решётка называется целой , если форма ${\displaystyle ({*},{*})}$ принимает только целочисленные значения.
• Норма элемента ${\displaystyle a}$ решётки определяется как ${\displaystyle (a,a)}$ .
• Решетка называется положительно определённой или лоренцевой , и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
  • Решётка является положительно определённой , если норма всех ненулевых элементов положительна.
  • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
• Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
• Решётка называется унимодулярной , если её определитель равен ${\displaystyle \pm 1}$ .
• Унимодулярная решетка называется чётной , если все нормы её элементов чётны.

Примеры

• ${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {R} }$ , а также ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ — унимодулярные решётки.
• Решётка E8 , решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

Свойства

• Для данной решётки в ${\displaystyle \Lambda \in \mathbb {R} ^{n}}$ вектора ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ такие, что ${\displaystyle (x,a)\in \mathbb {Z} }$ для любого ${\displaystyle a\in \Lambda }$ также образуют решётку называемую двойственной решёткой к ${\displaystyle \Lambda }$ .
  • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
  • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными .
• Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
• Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой ${\displaystyle (m,n)}$ существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m-n}$ делится на 8.
  • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
• Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой .

Приложения

• Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
  • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
  • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .
    • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

Литература

• Bacher, Roland; Venkov, Boris (2001), [Unimodular integral lattices without roots in dimensions 27 and 28], in Martinet, Jacques (ed.), Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires [ Euclidean lattices, spherical designs and modular forms ], Monogr. Enseign. Math. (фр.) , vol. 37, Geneva: L'Enseignement Mathématique, pp. 212—267, ISBN 2-940264-02-3 , MR , Zbl , Архивировано из 28 сентября 2007 от 28 сентября 2007 на Wayback Machine
• Conway, J.H. ; Sloane, N.J.A. (1999), Sphere packings, lattices and groups , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, With contributions by Bannai, E.; Borcherds, R.E.; Leech, J.; Norton, S.P.; Odlyzko, A.M.; Parker, R.A.; Queen, L.; Venkov, B.B. (Third ed.), New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9 , MR , Zbl
• King, Oliver D. (2003), "A mass formula for unimodular lattices with no roots", , 72 (242): 839—863, arXiv : , doi : , MR , Zbl
• Milnor, John ; Husemoller, Dale (1973), Symmetric Bilinear Forms , , vol. 73, New York-Heidelberg: Springer-Verlag , doi : , ISBN 3-540-06009-X , MR , Zbl
• Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , , vol. 7, Springer-Verlag , doi : , ISBN 0-387-90040-3 , MR , Zbl

Внешние ссылки

• унимодулярных решёток Нила Слоуна .
• ", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.