Теорема Меньшова — теорема математического анализа , доказанная в 1941 году советским математиком Д. Е. Меньшовым . Она утверждает, что любую интегрируемую периодическую функцию можно «немного подправить» так, чтобы её ряд Фурье сходился к ней равномерно. Впоследствии было найдено несколько более простых доказательств этой теоремы .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — измеримая, конечная почти всюду функция, заданная на отрезке ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ , и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ . Тогда существуют такая функция ${\displaystyle G(x)}$ и такое измеримое подмножество отрезка ${\displaystyle \Omega }$ , что:

1. ${\displaystyle mes\Omega >2\pi -\varepsilon }$ ;

2. ${\displaystyle G(x)=f(x)}$ на множестве ${\displaystyle \Omega }$ ;

3. Ряд Фурье функции ${\displaystyle G(x)}$ сходится к ней равномерно на всем отрезке.

Примечания