Interested Article - Закон Бернулли

Напор
Напор
Размерность
Единицы измерения
СИ	метр
Примечания
	Полное давление, делённое на удельный вес .

Рисунок из «Гидродинамики» Д. Бернулли : из-за течения по трубе, компенсирующего расход через правое отверстие О, давление в трубе меньше, чем в сосуде слева.

Зако́н Берну́лли (также уравне́ние Берну́лли , теоре́ма Берну́лли или интегра́л Берну́лли ) устанавливает зависимость между скоростью стационарного потока жидкости и её давлением . Согласно этому закону, если вдоль линии тока давление жидкости повышается, то скорость течения убывает, и наоборот. Количественное выражение закона в виде интеграла Бернулли является результатом интегрирования уравнений гидродинамики идеальной жидкости (то есть без вязкости и теплопроводности ).

История

Для случая несжимаемой жидкости результат, эквивалентный современному уравнению Бернулли, был опубликован в 1738 году Даниилом Бернулли . В современном виде интеграл был опубликован Иоганном Бернулли в 1743 году для случая несжимаемой жидкости, а для некоторых случаев течений сжимаемой жидкости — Эйлером в 1757 году .

Интеграл Бернулли в несжимаемой жидкости

Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение Бернулли может быть получено как следствие закона сохранения энергии . Закон Бернулли утверждает, что величина $\rho v^{2}/2+\rho gh+p$ сохраняет постоянное значение вдоль линии тока:

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+\rho gh+p={\text{const}}.

Здесь

\rho

— плотность жидкости;

v

— скорость потока;

h

— высота;

p

— давление ;

g

— ускорение свободного падения .

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина . Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями $A_{1}$ и $A_{2}$ , действует сила $F_{1}=p_{1}A_{1}$ , а справа — противоположного направления сила $F_{2}=-p_{2}A_{2}$ . Скорость $v$ и давление $p$ в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время $\Delta t$ левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние $s_{1}=v_{1}\Delta t$ , а правая — на расстояние $s_{2}=v_{2}\Delta t$ . Работа , совершённая силами давления, равна:

W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).

В начале интервала времени $\Delta t$ объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями $A_{1}$ и $A_{2}$ , состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: $\Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.$ Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: $\Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),$ равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента $\Delta E_{2}$ и левого голубого элемента $\Delta E_{1}$ .

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить $\rho _{1}=\rho _{2}=\rho$ и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: $\Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),$ $\Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).$ После этого равенство $\Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}$ даёт: $p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}$ , или $p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}$ .

Константа в правой части (может различаться для различных линий тока) иногда называется полным давлением . Могут также использоваться термины «весовое давление» $\rho gh$ , «статическое давление» $p$ и «динамическое давление» $\rho v^{2}/2$ . По словам Д. В. Сивухина , нерациональность этих понятий отмечалась многими физиками.

Размерность всех слагаемых — единица энергии на единицу объёма. Первое и второе слагаемое в интеграле Бернулли имеют смысл кинетической и потенциальной энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости. Третье слагаемое по своему происхождению является работой сил давления (см. приведённый выше вывод уравнения Бернулли), но в гидравлике может называться «энергией давления» и частью потенциальной энергии ).

Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли

В применении к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда закон Бернулли даёт равенство полных давлений на свободной поверхности жидкости и на выходе из отверстия:

\rho gh+p_{0}={\frac {\rho v^{2}}{2}}+p_{0},

где

h

— высота столба жидкости в сосуде, отсчитанная от уровня отверстия,

v

— скорость истечения жидкости,

p_{0}

— атмосферное давление .

Отсюда: $v={\sqrt {2gh}}$ . Это — формула Торричелли . Она показывает, что при истечении жидкость приобретает скорость, какую получило бы тело, свободно падающее с высоты $h$ . Или, если истекающую из малого отверстия в сосуде струю направить вверх, в верхней точке (в пренебрежении потерями) струя достигнет уровня свободной поверхности в сосуде .

Другие проявления и применения закона Бернулли

Закон Бернулли объясняет эффект Вентури : в узкой части трубы скорость течения жидкости выше, а давление меньше, чем в широкой части

Приближение несжимаемой жидкости, а с ним и закон Бернулли справедливы и для ламинарных течений газа, если только скорости течения малы по сравнению со скоростью звука .

Вдоль горизонтальной трубы координата $z$ постоянна и уравнение Бернулли принимает вид ${\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}$ . Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы расходомера Вентури и струйного насоса .

Закон Бернулли объясняет, почему суда, движущиеся параллельным курсом, могут притягиваться друг к другу (например, такой инцидент произошёл с лайнером « Олимпик ») .

Применение в гидравлике

Последовательное применение закона Бернулли привело к появлению технической гидромеханической дисциплины — гидравлики . Для технических приложений часто уравнение Бернулли записывается в виде, в котором все члены разделены на « удельный вес » $\rho g$ :

H=h+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {v^{2}}{2g}}={\text{const}},

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

H

— гидравлическая высота или напор ,

h

— нивелирная высота ,

{\frac {p}{\rho g}}

— пьезометрическая высота или (в сумме с нивелирной высотой) гидростатический напор ,

{\frac {v^{2}}{2g}}

— скоростная высота или скоростной напор .

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на вязкое трение . Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные « гидравлические потери напора» .

Интеграл Бернулли в баротропных течениях

Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости . При этом течение предполагается стационарным и баротропным . Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: $\rho =\rho (p)$ , что позволяет ввести функцию давления ${\mathcal {P}}=\int {\frac {\mathrm {d} p}{\rho (p)}}.$ В этих предположениях величина

{\frac {v^{2}}{2}}+gh+{\mathcal {P}}={\text{const}}

постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии . Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле , при этом $gh$ заменяется на потенциал массовой силы $\varphi$ .

Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения

Уравнение Громеки — Лэмба (квадратные скобки обозначают векторное произведение ) имеет вид:

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}

В силу сделанных предположений ${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,$ ${\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}$ и ${\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi$ (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен $\varphi =g\,h$ ), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=0

Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$ касательный к линии тока, даёт:

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\frac {\partial }{\partial l}}$ , а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока ${\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .$ Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по $\mathrm {rot} \,{\vec {v}}.$

Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости ${\vec {v}}=\operatorname {grad} \psi$ , интеграл Бернулли в виде ${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\left(\operatorname {grad} \psi \right)^{2}}{2}}+gh+{\cal {P}}=\mathrm {const}$ сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения .

Формула Сен-Венана — Ванцеля

Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон

p={\frac {p_{0}}{\rho _{0}^{\gamma }}}\rho ^{\gamma },\qquad \rho ={\frac {\rho _{0}}{p_{0}^{1/\gamma }}}p^{1/\gamma },\qquad {\cal {P}}=-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right],

то уравнение Бернулли выражается так (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):

{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right]=\mathrm {const}

вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь

\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}

— показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,

p,\ \rho

— давление и плотность газа,

p_{0},\ \rho _{0}

— условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.

С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за $p_{0},\ \rho _{0},$ тогда скорость истечения выражается через внешнее давление $p$ по формуле Сен-Венана — Ванцеля :

v^{2}={\frac {2\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p_{0}}{\rho _{0}}}\left[1-\left({\frac {p}{p_{0}}}\right)^{(\gamma -1)/\gamma }\right].

Термодинамика закона Бернулли

Из термодинамики следует, что вдоль линии тока любого стационарного течения идеальной жидкости

{\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}},\quad s={\text{const}},

где $w$ — энтальпия единицы массы , $\varphi$ — гравитационный потенциал (равный $gz$ для однородной силы тяжести), $s$ — энтропия единицы массы.

Вывод закона Бернулли из уравнения Эйлера и термодинамических соотношений

1. Уравнение Эйлера для стационарного ( $\partial {\vec {v}}/\partial t=0$ ) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести имеет вид

({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал ${\vec {g}}=-\nabla \varphi$ (для однородного поля $\varphi =gh$ ), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение .

2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},$ касательный к линии тока даёт

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\frac {\partial }{\partial l}}.$

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

\mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,

где $w$ — энтальпии единицы массы , $T$ — температура и $s$ — энтропия единицы массы, даёт

{\frac {\partial w}{\partial l}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}}+T{\frac {\partial s}{\partial l}},\quad

так что

{\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s}{\partial l}}.

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию ( $\partial s/\partial l=0$ ), поэтому вдоль линии тока:

s={\text{const}},\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.

Интеграл Бернулли применяют в инженерных расчётах, в том числе для сред, весьма далёких по своим свойствам от идеального газа, например для водяного пара, используемого в качестве теплоносителя в паровых турбинах. При этом могут использоваться так называемые диаграммы Молье , представляющие удельную энтальпию (по оси ординат ) как функцию удельной энтропии (по оси абсцисс ), и, например, давления (или температуры) в виде семейства изобар ( изотерм ). В этом случае последовательность состояний вдоль линии тока лежит на некоторой вертикальной линии ( $s={\text{const}}$ ). Длина отрезка этой линии, отсекаемого двумя изобарами, соответствующими начальному и конечному давлению теплоносителя, равна половине изменения квадрата скорости .

Обобщения интеграла Бернулли

Интеграл Бернулли также сохраняется при переходе потока через фронт ударной волны, в системе отсчета, в которой ударная волна покоится . Однако при таком переходе энтропия среды не остаётся постоянной (возрастает), поэтому соотношение Бернулли является лишь одним из трёх соотношений Гюгонио , наряду с законами сохранения массы и импульса, связывающих состояние среды за фронтом с состоянием среды перед фронтом и со скоростью ударной волны.

Известны обобщения интеграла Бернулли для некоторых классов течений вязкой жидкости (например, для плоскопараллельных течений ), в магнитной гидродинамике , феррогидродинамике . В релятивистской гидродинамике, когда скорости течения становятся сравнимыми со скоростью света $c$ , интеграл формулируется в терминах релятивистски инвариантных удельной энтальпии и удельной энтропии .

В записи Д.Бернулли в явном виде не фигурировало внутреннее давление в жидкости .
«…[Вывод теоремы Бернулли из уравнения энергии] обедняет содержание теоремы Бернулли … Интеграл Бернулли, вообще говоря, не зависит от уравнения энергии, хотя действительно совпадает с ним для изоэнтропического и адиабатического движения совершенного газа» .
«Два … пути получения уравнения Бернулли не эквивалентны. При энергетическом выводе нет необходимости в предположении об изэнтропичности течения. При интегрировании уравнения движения интегралы Бернулли получаются не только вдоль линий тока, но и вдоль вихревых линий» .
В русскоязычной литературе интеграл Бернулли для потенциальных течений несжимаемой или баротропной жидкости известен как интеграл Коши — Лагранжа

Примечания

↑ .
↑ .
.
↑ , §24. Теорема Бернулли.
.
.
.
.
, с. 17.
, с. 9.
, с. 255, 257.
, с. 331.
↑ , §94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли.
Чугаев Р. Р. Гидравлика. — Л. : Энергия , 1975. — 600 с.
, §95. Примеры на применение уравнения Бернулли. Формула Торричелли.
, §94, формула (94.6).
Молоканов Ю. К. . — М. : Химия, 1980. — С. 60. — 408 с.
Я. И. Перельман . (рус.) Дата обращения: 27 декабря 2018. 11 мая 2012 года.
↑ .
, Примечание Г. Ю. Степанова, с. 208.
, с. 104.
, §23, уравнение (9).
, §23, уравнение (7).
, Глава VIII. §2, уравнение (2.1).
↑ , §42. Интеграл Лагранжа — Коши.
, §24, уравнение (29).
, §24, уравнение (30).
, §24, уравнение (31).
, Уравнение (2.4).
, Глава VII. §2. Функция давления.
, с. 446.
, §85.
Голубкин В. Н., Сизых Г. Б. О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости // Известия АН СССР, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1987. — № 3 . — С. 176–178 . — doi : .
Куликовский А. Г. , Любимов Г. А. . — М. : Физматлит , 1962. — С. . — 248 с.
Розенцвейг Р. Феррогидродинамика / Пер. с англ. под ред. В. В. Гогосова. — М. : Мир , 1989. — С. 136. — 359 с. — ISBN 5-03-000997-3 .
.
, Уравнение (134.11).

Литература

Бэтчелор Дж. / Пер. с англ. под ред. Г. Ю. Степанова . — М. : Мир , 1973. — 760 с.
Вишневецкий С. Л. // / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия , 1988. — Т. 1: Ааронова-Бома эффект — Длинные линии. — С. 187. — 704 с.
Гольдштейн Р. В. , Городцов В. А. Механика сплошных сред. Часть 1. — М. : Физматлит , 2000. — 256 с. — ISBN 5-02-015555-1 .
Зубарев, Д. Н. // / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая российская энциклопедия , 1994. — Т. 4: Пойнтинга-Робертсона эффект — Стримеры. — С. 333—334. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8 .
Ландау Л. Д. , Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 5-е, стереотипное. — М. : Физматлит, 2001. — 736 с. — (« Теоретическая физика », том VI). — ISBN 5-9221-0121-8 .
Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М. : Дрофа, 2003. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6 .
Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. — М. : Мир , 1964. — 656 с.
Михайлов Г. К. // Известия Академии наук, серия Механика жидкости и газа : журнал. — 1999. — Вып. 6 . — С. 7–25 .
// / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая российская энциклопедия , 1992. — Т. 3: Магнитоплазменный компрессор — Пойнтинга теорема. — С. 242. — 672 с. — ISBN 5-85270-019-3 .
Поль Р. В. . — Рипол Классик, 2013. — 490 с. — ISBN 5458431251 , 9785458431255.
Седов Л. И. . — М. : Наука , 1970. — Т. 2. — 568 с.
Сивухин Д. В. . — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М. : Наука , 1989. — Т. I. Механика. — 576 с. — ISBN 5-02-014054-6 .
Титьенс О., Прандтль Л. Гидро- и аэромеханика. — М. - Л. : ГТТИ , 1933. — Т. 1. — 224 с.
Трусделл К. . — М. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 316 с. — ISBN 5-93972-192-3 .
Фабер Т. Е. Гидроаэродинамика / Пер. с англ. под ред. А. А. Павельева. — М. : Постмаркет, 2001. — 560 с. — ISBN 5-901095-04-9 .
Чёрный Г. Г. Газовая динамика. — М. : Наука , 1988. — 424 с. — ISBN 5-02-013814-2 .
§182. Закон Бернулли // / Под ред. Г. С. Ландсберга . — М. : Наука , 1985. — Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика.
Darrigol O. . — Oxford: Oxford University Press, 2005. — 356 с. — ISBN 978-0-19-856843-8 .
Euler L. // Mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1755 (1757). — Т. 11 . — С. 316—361 .
Truesdell, Clifford Ambrose. Rational fluid mechanics, 1687–1765. Editor’s introduction to Euleri Opera omnia II 12 // Leonardi Euleri. Opera Omnia. — Lausanne: Auctoritate et Impensis, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, 1954. — Т. 12. — С. I—CXXV. — (II).