Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружности .

Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессора .

Утверждение

Пусть треугольник задан своими вершинами A , B и C , противоположные вершинам стороны имеют длины a , b и c , площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

Вырожденный случай

Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.

Обобщение

• Если прямая касается вневписанной окружности противоположной, скажем, вершине A треугольника, то

${\displaystyle -aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

• Если на касательную к кругу радиуса x , концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$ , то .

${\displaystyle ad_{A}+bd_{B}+cd_{C}\ =2px}$ .

• В частности, если x=r , где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта .

Свойство двойственности

Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K}$

остаётся верным .

Примечания

Литература

• Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. // Forum Geometricorum. — 2003. — Т. 3 .
• F. G.-M. (неопр.) . — edition=5th. — Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Paris), 1912. — (Cours de mathématiques elementaires).
• William Allen Whitworth. . — 2012. — (Forgotten Books (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).