Радикальный центр трёх окружностей — точка пересечения трёх радикальных осей пар окружностей. Если радикальный центр лежит вне всех трёх окружностей, то он является центром единственной окружности ( радикальной окружности ), которая пересекает три данных окружности ортогонально . Построение этой ортогональной окружности соответствует задаче Монжа . Это специальный случай теоремы о трёх конических сечениях.

Три радикальных оси пересекаются в одной точке, радикальном центре, по следующей причине: радикальная ось пары окружностей определяется как множество точек, имеющих одинаковую степень h относительно обеих окружностей. Например, для любой точки P на радикальной оси окружностей 1 и 2, степени относительно каждой из окружностей равны h ₁ = h ₂ . Таким же образом для любой точки на радикальной оси окружностей 2 и 3 степени должны быть равны h ₂ = h ₃ . Таким образом, в точке пересечения двух этих прямых эти три степени должны совпадать: h ₁ = h ₂ = h ₃ . Из этого следует, что h ₁ = h ₃ , и эта точка должна лежать на радикальной оси окружностей 1 и 3. Таким образом, все три радикальные оси проходят через одну точку — радикальный центр.

Примеры

• Радикальный центр имеет несколько приложений в геометрии. Он играет важную роль при решении задачи Аполлония , опубликованном Жозефом Диасом Жергонном в 1814 году.
• В системы окружностей все вершины диаграммы лежат в радикальных центрах троек окружностей.
• Центр Шпикера треугольника является радикальным центром трех его вневписанных окружностей .
• Также существуют другие радикальные центры, такие как радикальный центр окружностей Люка.
• Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.

Ортогональность

• Две окружности, пересекающиеся под прямым углом , называются ортогональными . Окружности можно считать ортогональными , если они образуют прямой угол друг с другом.
• Две пересекающиеся в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ окружности с центрами ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle O'}$ называются ортогональными , если являются прямыми углы ${\displaystyle OAO'}$ и ${\displaystyle OBO}$ . Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведенные в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведенному в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведенными в точке их пересечения.
• Возможно другое дополнительное условие. Пусть две пересекающиеся в точках A и B окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках C и D , то есть дуга AС равна дуге СB , дуга AD равна дуге DB . Тогда эти окружности называются ортогональными , если являются прямыми углы СAD и СBD .

См. также

• Касательная прямая к окружности
• окружность
• Радикальная ось
• Степень точки относительно окружности

Примечания

Литература

• C. Stanley Ogilvy. . — Dover, 1990. — С. . — ISBN 0-486-26530-7 .
• Г. С. М. Коксетер , С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы., 1978. — С. 43—48. — (Библиотека математического кружка).
• Johnson R. A. Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle. — reprint of 1929 edition by Houghton Miflin. — New York: Dover Publications, 1960. — С. 32–34. — ISBN 978-0-486-46237-0 .
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — New York: Penguin Books, 1991. — С. 35. — ISBN 0-14-011813-6 .
• Dörrie H. §31 Monge's Problem // 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. — New York: Dover, 1965. — С. 151—154.
• Lachlan R. An elementary treatise on modern pure geometry. — London: Macmillan, 1893. — С. 185.
• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• at Cut-the-Knot
• at Cut-the-Knot