Отноше́ние напра́вленных отре́зков — инвариант аффинной геометрии . Используется в формулировках теоремы Менелая , теоремы Чевы , теоремы Ван-Обеля и других.

Определение

Отношение направленных отрезков определено для двух отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ . С точностью до знака оно равно отношению длин ${\displaystyle {\frac {|XY|}{|ZT|}}}$ , и величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ положительна, если ${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {ZT}}}$ сонаправлены, и отрицательна, если противонаправлены. Другими словами, величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ определяется как число, удовлетворяющее следующему соотношению:

${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}={\frac {XY}{ZT}}\cdot {\overrightarrow {ZT}}.}$

Связанные определения

Если три точки ${\displaystyle X,Y,Z}$ лежат на одной прямой, то отношение направленных отрезков ${\displaystyle {\frac {XY}{YZ}}}$ называется также простым отношением точек ${\displaystyle X,Y,Z}$ ; оно положительно если ${\displaystyle Y}$ лежит между ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Z}$ и отрицательно если ${\displaystyle Y}$ лежит вне отрезка ${\displaystyle XZ}$ .

Свойства

• Отношение направленных отрезков является инвариантом аффинных преобразований .

См. также

• Двойное отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Коксетер Г. С. М. , Грейтцер С. П. . — М. : Наука , 1978. — Т. 14. — ( Библиотека математического кружка ).