Interested Article - Метод площадей

Метод площадей — метод решения геометрических тождеств путём подсчёта площадей фигур разными способами.

Методом площадей также доказываются теорема Пифагора , теорема о биссектрисе , теорема Чевы и многие другие.

Пример: Доказательство Евклида теоремы Пифагора

Чертёж к доказательству Евклида. Основное направление доказательства — установление конгруэнтности $\triangle ACK\cong \triangle ABD$ , площадь которых составляет половину площади прямоугольников $AHJK$ и $ACED$ соответственно.

Классическое доказательство Евклида направлено на установление равенства площадей между прямоугольниками, образованными из рассечения квадрата над гипотенузой высотой из прямого угла, с квадратами над катетами.

Конструкция, используемая для доказательства, следующая: для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ , квадратов над катетами $ACED$ и $BCFG$ и квадрата над гипотенузой $ABIK$ строится высота $CH$ и продолжающий её луч $s$ , разбивающий квадрат над гипотенузой на два прямоугольника — $AHJK$ и $BHJI$ . Доказательство нацелено на установление равенства между площадями прямоугольника $AHJK$ и квадрата над катетом $AC$ ; равенство площадей второго прямоугольника, составляющего квадрат над гипотенузой, и прямоугольника над другим катетом устанавливается аналогичным образом.

Равенство площадей прямоугольника $AHJK$ и $ACED$ устанавливается через конгруэнтность треугольников $\triangle ACK$ и $\triangle ABD$ , площадь каждого из которых равна половине площади квадратов $AHJK$ и $ACED$ соответственно в связи со следующим свойством: площадь треугольника равна половине площади прямоугольника, если у фигур есть общая сторона, а высота треугольника к общей стороне является другой стороной прямоугольника. Конгруэнтность треугольников следует из равенства двух сторон (стороны квадратов) и углу между ними (составленного из прямой угла и угла при $A$ ).

Таким образом, доказательством устанавливается, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, составленного из прямоугольников $AHJK$ и $BHJI$ , равна сумме площадей квадратов над катетами.