Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение ) четвёрки чисел ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ ( вещественных или комплексных ) определяется как

${\displaystyle (ab,cd)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}.}$

Также встречаются обозначения ${\displaystyle (a,b;c,d)}$ и ${\displaystyle [a,b;c,d]}$ .

Свойства

• ${\displaystyle (ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)}$ .
• Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях , в частности не зависит от выбора координат на прямой.

${\displaystyle (ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)}$ .

В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно ${\displaystyle \lambda }$ , тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:

${\displaystyle \lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}}$ .

Вариации и обобщения

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ , лежащих на одной ( вещественной или комплексной ) прямой, называют число

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}},}$

где через ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ обозначены координаты точек ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , ${\displaystyle D}$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

${\displaystyle (AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}},}$

подразумевая, что через ${\displaystyle AC/BC}$ (соответственно ${\displaystyle AD/BD}$ ) обозначено отношение направленных отрезков .

• Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четвёрки прямых ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ , проходящих через одну точку, называют число

${\displaystyle (ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c)}}:{\frac {\sin(a,d)}{\sin(b,d)}},}$

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ , не пересекается ни с одной из прямых ${\displaystyle c}$ или ${\displaystyle d}$ (в этом случае говорят, что пара прямых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ не разделяет пару прямых ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle d}$ ), то ${\displaystyle (ab,cd)>0}$ ; в противном случае ${\displaystyle (ab,cd)<0}$ .

• Пусть четвёрка прямых ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ проходит через точку ${\displaystyle O}$ , а прямая ${\displaystyle \ell }$ не содержит ${\displaystyle O}$ . Предположим прямые ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle d}$ пересекаются с ${\displaystyle \ell }$ соответственно в точках ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ . Тогда

  ${\displaystyle (ab,cd)=(AB,CD).}$

См. также

• Гармоническая четвёрка точек и прямых
• Простое отношение
• Пропорциональные отрезки

Ссылки

• Р. Курант , Г. Роббинс , Что такое математика?
• // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• Шаль, Мишель . // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.