Алгебра с единицей (также унитальная алгебра , калька с англ. unital algebra ) — алгебра над кольцом , в которой существует нейтральный элемент по отношению к умножению — единица , то есть такой элемент ${\displaystyle 1}$ , что для всех элементов ${\displaystyle x}$ алгебры выполняются равенства:

${\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x}$ .

Это определение эквивалентно тому, что данная алгебра является моноидом по отношению к умножению. Как и в случае любого моноида, нейтральный элемент является единственным.

Многие ассоциативные алгебры , включая алгебры групп , многочленов и матриц обладают единицей, если нейтральным элементом обладают соответствующие кольца . Большинство функциональных алгебр, рассматриваемых в анализе , напротив, единицей не обладают. К таковым относится, например, алгебра функций с интегрируемым квадратом и неограниченной областью определения, а также алгебра функций, являющихся бесконечно малыми на бесконечности (особенно функций с компактным носителем в некоторых некомпактных пространствах).

Литература

• Kevin McCrimmon. A taste of Jordan algebras. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-387-95447-9 .
• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6 .