*-алгебра ( алгебра с инволюцией , алгебра с операцией сопряжения ) — ассоциативная алгебра с инволюцией , которая имеет свойства подобные комплексному сопряжению .

*-кольцо

*-кольцо — кольцо с унарной операцией *, которое является

• , то есть

${\displaystyle \ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle \ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

${\displaystyle \ 1^{*}=1}$

• и инволюцией , то есть

${\displaystyle \ (x^{*})^{*}=x.}$

Такое кольцо ещё называется кольцо с инволюцией .

*-алгебра

*-алгебра A — это *-кольцо, которое является ассоциативной алгеброй над другим *-кольцом R , с согласованием операции * в ${\displaystyle R\subset A.}$

Базовое *-кольцо это, обычно, комплексные числа (где * — комплексное сопряжение).

Тогда * сопряженно-линейное, то есть

${\displaystyle (\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\;x,y\in A}$ .

*-гомоморфизм ${\displaystyle \ f:A\to B}$ — это гомоморфизм алгебр , который отображает инволюцию в A на инволюцию в B , то есть:

${\displaystyle f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.}$

---

• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=x}$ называются само-сопряженными , симметричными или эрмитовыми .
• Элементы для которых ${\displaystyle \ x^{*}=-x}$ называются косо-сопряженными , анти-симметричными или анти-эрмитовыми .
• Можно определить эрмитову форму с помощью операции * в виде ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{*}\cdot y}$ .

C*-алгебра

C*-алгебра — банахова *-алгебра над полем комплексных чисел, для которой выполняется C*-свойство :

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,}$

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

Оба условия эквивалентны.

Также они эквивалентны В*-свойству

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.}$

Примеры

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его следующей информацией: перевести .

• Самым известным примером являются комплексные числа ${\displaystyle \mathbb {C} }$ с операцией сопряжения.
• Квадратные матрицы с комплексными элементами с операцией эрмитового сопряжения .
• Эрмитовое сопряжения линейного оператора в гильбертовом пространстве .

Свойства

Многие свойства сопряжения для комплексных чисел хранятся в *-алгебрах:

• Если элемент 2 в кольце обратим , тогда ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-*)}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1+*)}$ является ортогональными идемпотентами . Как векторное пространство , алгебра разлагается в прямую сумму подпространств симметричных и анти-симметричных (эрмитовых и анти-эрмитовых) элементов.
• Эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Йордана .
• Анти-эрмитовые элементы *-алгебры образуют алгебру Ли .

Обозначения

Операция инволюции записывается обычно в виде символа звёздочки ( астериска ), указываемого после операнда, находящегося на уровне средней линии или слегка поднятого над нею:

x ↦ x *

или

x ↦ x ^∗ ( Τ Ε Χ : x^* ),

но не « x ∗ » так как символ звёздочки для бинарных операций находится ниже средней линии. Иногда используется также x , как в комплексном сопряжении, или x ^† (поднятый типографский крестик ).

См. также

• Операторные алгебры
• Процедура Кэли — Диксона иногда строит *-алгебру

Библиография

• H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity , Claren- don Press, Oxford, 2000, с. 142—150.