Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ , при котором всякий элемент этого множества находится в отношении ${\displaystyle R}$ с самим собой .

Формально, отношение ${\displaystyle R}$ рефлексивно, если ${\displaystyle \forall x\in X:\ (xRx)}$ .

Свойство рефлексивности отношения при задании матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при задании отношения графом каждый элемент х имеет петлю — дугу ( х , х ) .

Бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ на множестве ${\displaystyle X}$ ( ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}=\{(x,x)|x\in X\}}$ ), то есть ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\subseteq R}$ .

Если ${\displaystyle aRa}$ не имеет смысла, то отношение ${\displaystyle R}$ называется антирефлексивным (или иррефлексивным ) .

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида ( х , х ) .

Формально антирефлексивность отношения ${\displaystyle R}$ определяется как: ${\displaystyle \forall x\in X:\ \neg (xRx)}$ .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества ${\displaystyle X}$ , говорят, что отношение ${\displaystyle R}$ нерефлексивно .

Примеры рефлексивных отношений

Рефлексивные отношения:

• отношения эквивалентности :
  • отношение равенства ( ${\displaystyle =\;}$ );
  • отношение сравнимости по модулю ;
  • отношение параллельности прямых и плоскостей;
  • отношение подобия геометрических фигур;
• отношения нестрогого порядка :
  • отношение нестрогого неравенства ( ${\displaystyle \leqslant }$ );
  • отношение нестрогого подмножества ( ${\displaystyle \subseteq }$ );
  • отношение делимости ( ${\displaystyle \vdots }$ ).

Примеры антирефлексивных отношений

Антирефлексивные отношения:

• отношение неравенства ( ${\displaystyle \neq \;}$ );
• отношения строгого порядка :
  • отношение строгого неравенства ( ${\displaystyle <\;}$ );
  • отношение строгого подмножества ( ${\displaystyle \subset }$ );
• отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве .

См. также

• Корефлексивное отношение
• Самоподобие

Примечания