Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору ${\displaystyle y}$ набор ${\displaystyle x}$ , то он также предпочтёт наборам, близким к ${\displaystyle y}$ , наборы, близкие к ${\displaystyle x}$ .

Непрерывность отношения предпочтения обеспечивает также другие «желательные» свойства предпочтений. В частности для непрерывных неоклассических предпочтений существует непрерывная функция полезности , их представляющая. Если непрерывное отношение предпочтения, являющееся также и монотонным , то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров — это кривые безразличия ).

Формальные определения

Непрерывность можно определить несколькими эквивалентными способами.

• Отношение предпочтения ${\displaystyle \succeq }$ называется непрерывным , если для произвольного набора ${\displaystyle y\in X}$ множества ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \}}}$ и ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \}}}$ являются замкнутыми . Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над ${\displaystyle y}$ (то есть не хуже ${\displaystyle y}$ ), во втором множестве все наборы такие, что ${\displaystyle y}$ слабо преобладает над ними (то есть они не лучше ${\displaystyle y}$ ).

• Отношение предпочтения ${\displaystyle \succeq }$ называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей наборов ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ , таких что ${\displaystyle x_{n}\succeq y_{n}}$ выполнено также и ${\displaystyle x\succeq y}$ , где x и y — пределы этих последовательностей.

Для неоклассических предпочтений непрерывность нестрогого предпочтения может быть определена одним из следующих эквивалентных свойств строгого предпочтения ${\displaystyle \succ }$ :

• Множество ${\displaystyle {\big \{}x\in X:x\succ y{\big \}}}$ наборов, лучших ${\displaystyle y}$ , и множество ${\displaystyle {\big \{}z\in X:y\succ z{\big \}}}$ наборов, худших ${\displaystyle y}$ , должны быть открытыми

• Если ${\displaystyle x\succ y}$ , то существуют окрестности ${\displaystyle V_{x}}$ и ${\displaystyle V_{y}}$ , такие, что для любых ${\displaystyle a\in V_{x}}$ и ${\displaystyle b\in V_{y}}$ выполнено ${\displaystyle a\succ b}$

Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем ${\displaystyle y}$ наборов, должно быть ещё множество наборов, которые являются безразличными по отношению ${\displaystyle y}$ и разделяют первые два множества. Таким образом, из непрерывности следует, что перемещаясь от худшего произвольно выбранного набора ${\displaystyle y}$ до лучшего ${\displaystyle y}$ , по дороге всегда наткнёмся на набор, безразличный по отношению к ${\displaystyle y}$ .

Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения .

См. также

• Отношение предпочтения
• Монотонное отношение предпочтения
• Выпуклое отношение предпочтения

Литература

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
• Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.