По́ле Ки́ллинга (в теории относительности часто просто ве́ктор Ки́ллинга ) — векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова или псевдориманова многообразия .

Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задаёт непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остаётся инвариантным.

В частности, если метрический тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ в некоторой системе не зависит от одной из координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ , тогда векторное поле вдоль этой координаты ${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }}$ будет полем Киллинга.

Векторы Киллинга в физике указывают на симметрию физической модели и помогают найти сохраняющиеся величины, такие как энергия , импульс или спин . В теории относительности , например, если метрический тензор не зависит от времени, то в пространстве-времени существует времениподобный вектор Киллинга, с которым связана сохраняющаяся величина — энергия гравитационного поля.

Название дано в честь немецкого математика Вильгельма Киллинга , открывшего группы Ли и многие их свойства параллельно с Софусом Ли .

Определение

Векторное поле ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle M}$ называется полем Киллинга если оно удовлетворяет следующему уравнению:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0,}$

где ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ — производная Ли по направлению ${\displaystyle X}$ , a ${\displaystyle g}$ — риманова метрика на ${\displaystyle M}$ .

Это уравнение можно переписать через связность Леви-Чивиты :

${\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0}$

для любых полей ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$ .

В терминах локальных координат:

${\displaystyle \nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.}$

Свойства

• Векторное поле ${\displaystyle X}$ является полем Киллинга тогда и только тогда, когда сужение ${\displaystyle X}$ на любую геодезическую является полем Якоби .
• Для задания поля Киллинга достаточно указать его значение, плюс значения всех его ( ковариантных ) производных первого порядка, всего в одной точке. Из этой точки векторное поле может быть продолжено на всё многообразие.
• Скобка Ли , или коммутатор, двух полей Киллинга даёт опять поле Киллинга. Таким образом, поля Киллинга образуют подалгебру бесконечномерной алгебры Ли всех (дифференцируемых) векторных полей на многообразии . Эта подалгебра является алгеброй Ли группы движений многообразия.
• Линейная комбинация полей Киллинга тоже является полем Киллинга.
  • Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле параллельного переноса вдоль оси y = поле вращений вокруг центра, смещённого относительно начала координат вдоль оси x :
    
    Все три поля являются полями движений плоскости.
• Если кривизна Риччи компактного многообразия отрицательна, то на нём нет нетривиальных (то есть не равных тождественно нулю) полей Киллинга.
• Если секционная кривизна компактного многообразия положительная и размерность чётная, то поле Киллинга должно иметь нуль.

Примеры

• На евклидовой плоскости существует три линейно независимых поля Киллинга:

${\displaystyle \xi _{1}=\mathbf {e} _{x}}$ , ${\displaystyle \xi _{2}=\mathbf {e} _{y}}$ , ${\displaystyle \xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.}$

Первые два поля Киллинга отвечают сдвигов вдоль осей ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ , а последнее — подгруппе вращений вокруг начала координат. Различные комбинации из этих трёх подгрупп исчерпывают всевозможные движения плоскости.

• В трёхмерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ существует шесть линейно независимых полей Киллинга:

${\displaystyle \xi _{x}=\mathbf {e} _{x}}$ , ${\displaystyle \xi _{y}=\mathbf {e} _{y}}$ , ${\displaystyle \xi _{z}=\mathbf {e} _{z},}$

${\displaystyle \zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},}$

${\displaystyle \zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},}$

${\displaystyle \zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.}$

• Последние три поля ${\displaystyle \zeta _{x}}$ , ${\displaystyle \zeta _{y}}$ и ${\displaystyle \zeta _{z}}$ являются также полями Киллинга на сфере ${\displaystyle \mathbf {S} ^{2}}$ (это становится очевидным если рассматривать её погруженной в трёхмерное пространство ).
• Однолистный гиперболоид , задаваемый уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=1}$ , погружённый в пространство Минковского с метрикой ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2}}$ , имеет три линейно независимых поля Киллинга, подобных полям Киллинга на сфере:

${\displaystyle \zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},}$

${\displaystyle \zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},}$

${\displaystyle \zeta _{z}=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}.}$

Вариации и обобщения

• Конформные поля Киллинга , определяются формулой

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}$

для некоторого скаляра ${\displaystyle \lambda }$ . Они являются производными однопараметрических семейств конформных отображений .

• Конформные тензорные поля Киллинга : симметричные тензорные поля ${\displaystyle T}$ , такие что симметризация ${\displaystyle \nabla T}$ равна нулю.
• Антисимметричное тензорное поле Киллинга — Яно , часто представляемое, как «корень квадратный из симметричного тензорного поля Киллинга». Симметрия, описываемая тензорами Киллинга и Киллинга — Яно, существует во вращающихся чёрных дырах Керра , а также некоторых их обобщениях. Наличие подобной симметрии объясняет, почему разделяются переменные в уравнениях движения классической и квантовой релятивистской механики : Гамильтона — Якоби , волновом , Клейна — Гордона , Дирака и др.
• Тензорное поле Киллинга .

Примечания

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ — М.: Наука, 1967.
• Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия — М.: Изд-во иностр. лит., 1948.
• Xелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства — М.: Мир, 1964.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии — М.: Наука, 1981.