Interested Article - Обратное число

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число , умножение которого на x даёт единицу . Принятая запись: ${\frac {1}{x}}$ или $x^{-1}$ . Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными .

Примеры .

Единственные вещественные числа, совпадающие со своими обратными:

+1

и

-1.

Обратное для числа 2 равно

{\frac {1}{2}}.

Обратное для числа

{\frac {11}{35}}

равно

{\frac {35}{11}}.

Обратное для числа

\pi =3{,}1415926535\dots

равно

0{,}3183098861\dots

Обратное число не следует путать с противоположным или с обратной функцией .

Понятие обратного элемента можно определить не только для чисел, но и для других математических объектов .

Обратное к действительному числу

Для любого действительного (или комплексного ) числа, отличного от нуля , существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1 . Но, как правило, используется запись через дробь.

Число	Обратное
Число	Дробь	Степень
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{-1}$

То есть $\ {\frac {1}{n}}=n^{-1}$ .

Примеры
Число	$3$	${\frac {1}{10}}$	$-{\frac {2}{7}}$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$1$	${\sqrt {3}}$	$e^{\frac {\pi }{4}}$	$10^{23}$
Обратное	${\frac {1}{3}}$	$10$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi }}$	$0,5$	$-8$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$e^{-{\frac {\pi }{4}}}$	$10^{-23}$

Обратное для нуля

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного перехода (в математическом анализе ), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

Правый предел: $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Левый предел: $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−» . Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также «равен» бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

$\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

Но $\lim _{x\to +0}{\frac {\frac {1}{x}}{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to +0}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Обратное к комплексному числу

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая , тригонометрическая и показательная .

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Алгебраическая	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
Тригонометрическая	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Показательная	$re^{i\varphi }$	${\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }$

Обозначение и доказательство

Обозначение

$z\in \mathbb {C}$ (комплексное число),
$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$ (действительная часть комплексного числа),
$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$ (мнимая часть комплексного числа),
$i$ — мнимая единица ,
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ (модуль комплексного числа),
$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}$ (аргумент комплексного числа),
$e$ — основание натурального логарифма .

Доказательство:
Для алгебраической и тригонометрической форм используем основное свойство дроби , умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное :

Алгебраическая форма:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)}}={\frac {x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$

Тригонометрическая форма:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}={\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i\sin \varphi )$

Показательная форма:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{i\varphi }}}={\frac {1}{r}}e^{-i\varphi }$

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа	Число $(z)$	Обратное $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Алгебраическая	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}i$
Тригонометрическая	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ или $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ или ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)$
Показательная	$2e^{i{\frac {\pi }{3}}}$	${\frac {1}{2}}e^{-i{\frac {\pi }{3}}}$

Обратное к мнимой единице

Существует лишь два числа ( комплексно-сопряженные ), обратное и противоположное числа к которым равны. Это $\pm i$ .

Число	Равенство обратного и противоположного
Число	Запись обратного через дробь	Запись обратного через степень
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{-1}=-i$
$-i$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{-1}=i$

Доказательство

Продемонстрируем доказательство для $i$ (для $-i$ аналогично).
Используем основное свойство дроби :

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i$

Таким образом, получаем

${\frac {1}{i}}=-i$ __ или __ $i^{-1}=-i$

Аналогично для $-i$ : __ $-{\frac {1}{i}}=i$ __ или __ $-i^{-1}=i$

Вариации и обобщения

Понятие обратного элемента на произвольном множестве $M$ можно определить для любой бинарной операции на этом множестве, если для этой операции существует нейтральный элемент — например, в кольце квадратных матриц заданного порядка. Если операция не ассоциативна , то приходится различать левый и правый обратный элементы.

Элементы кольца , имеющие обратный элемент, называются делителями единицы . Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу , называемую группой обратимых элементов. Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Примечания

, с. 203—204.
↑ Обратное $\left({\frac {1}{z}}\right)$ к комплексному числу $(z)$ записывается в такой же форме , как и само число $(z)$ .
↑ Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента: $\cos {\frac {\pi }{3}}={\frac {1}{2}},\ \ \sin {\frac {\pi }{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$